面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (228ﾚｽ)
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98(1): １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:31 ID:5ntOUQRB(1/7)
ℝ²⁰の18次元超平面 H を Σxₖ = 1, Σkxₖ = 21 で定める。S₁= Σ|xₖ|, S₂ = max{|xₖ|} とする。ともに ℝ²⁰ の1点コンパクト化上にℝ∪{∞}値連続関数に拡張される。無限遠点では∞値をとるから S₁, S₂ ともに ℝ²⁰ のいずれかの点で最小値をとる。
99: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:32 ID:5ntOUQRB(2/7)
1≦l<m<n ≦20 と ε に対して変換
xₗ → xₗ + ε(m-n)、xₘ → xₘ + ε(n-l) 、xₙ → xₙ + ε(l-m)...①
を考えるときこの変換で H は安定である。
100: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:32 ID:5ntOUQRB(3/7)
(1) (xₖ) を S₁ の最小値を与える点のなかで xₖ = 0 なる k の個数が最大となる点をとる。1≦l<m<n≦20 をとる。このとき
(i) xₗ,xₘ,xₙ がすべて 0 でなく同符号でないらなら変換①で S₁ の値を減少させうるから矛盾する。
101: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:32 ID:5ntOUQRB(4/7)
(ii) xₗ,xₘ,xₙ がすべて 0 で同符号のとき。変換①で S₁ の値を保ちつつ xₖ = 0 なる k の個数を増やせるから矛盾する。
102: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:33 ID:5ntOUQRB(5/7)
(iii) xₗxₘ<0 xₙ = 0 または xₗ = 0, xₘxₙ < 0 のとき。変換①で S₁ の値を減少させうるから矛盾する。
よって条件をみたすとき x₂ = x₃= ... x₁₉ = 0 が必要である。x₁ + x₂₀ = 1, x₁ + 20x₂₀ = 21 を解いて x₁ = -1/19, x₂₀ = 20/19 である。
103: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:33 ID:5ntOUQRB(6/7)
2) μ = min S₂ とおく。 (xₖ) を S₂ の最小値を与える点のなかで |xₖ| = μ なる k の個数が最小となる点をとる。
1≦l<m<n≦20 をとる。このとき
(i) xₗ = ±μ ,xₘ = ±μ ,xₙ = ±μ のうち成立するのが丁度1個のとき。変換①で |xₖ| = μ である k の個数を減らせるから矛盾する。
(ii) xₗ = xₙ = μ, xₘ < μ または xₗ = xₙ = -μ, xₘ > -μ のとき。変換①で |xₖ| = μ である k の個数を減らせるから矛盾する。
104: １３２人目の素数さん [sage] 07/07(月)22:33 ID:5ntOUQRB(7/7)
よって条件をみたすとき 1 ≦ p ≦ 20 を
xₗ = x₂ = .. = xₚ₋₁ = -μ、xₚ₊₁ = ... = x₂₀ = μ または xₗ = x₂ = .. = xₚ₋₁ = μ、xₚ₊₁ = ... = x₂₀ = -μ
を満たすようにとれる。よって
(p-1)x + y + (20-p)x = 1
(1+2+..+p-1)x + py + (p+1+..+20)x = 21
をといて
x=(p-21)/(20p-210) , y = (p+189)/(20p-210)
であり、p=1 の場合を除いて |y|>1 であり p=1 のとき (x,y) = (2/19,-1) であるから
xₗ = -1、x₂ = .. = x₂₀ = 2/19 のとき S₂ は最小値 1 をとる。
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