[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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888(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/04(火)08:56 ID:lAueiab3(1)
>>887
Aは零因子でない より
一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
(つまりdim Ker A = 0)
のほうが、線形代数らしいけどね
一方でランクに関する条件は
dim Im A = n
に当たる
両者が同値というのは
階数・退化次数の定理
から導ける
線形代数分かってれば自明だけどね
889(2): １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)10:09 ID:tCJGQSNR(1/6)
>>888
ありがとう
その通りだが
そもそもの話は、何年か前に、あるスレで
高校教程から行列が落とされて
「行列初耳くん」もいるだろうから
あえて私が
「正方行列の逆行列」という表現をしたところ
「正則行列を知らない！」と、揚げ足取りに騒ぐアホがいたんだ
それで「零因子行列のことだろ？ 知っているよ」と切り返したら
「関係ないことをいうな」>>844 と叫んだおサルさんだったｗ 2chｽﾚ:math
かれは、行列の零因子に全く無知だったようですね
つい最近まで
>>835(引用開始)
> 騒ぐから、すぐに正則行列に関連して
> 「零因子行列の話だろ？ 知っているよ」
> と言った
「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて
ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど、ダメよ
(引用終り)
などと、支離滅裂なことを口走っていたのです
零因子行列とは、確かにあまり言わないようだが
零因子行列で、これだけ釣れるとは、全く想像していなかったなｗ
890(2): １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)10:34 ID:tCJGQSNR(2/6)
>>888
>両者が同値というのは
>階数・退化次数の定理
>から導ける
一応フォローしておきますね（下記）
さて
>Aは零因子でない
行列の成分を、実数ないし複素数として
零因子の話は、nxnの正方行列が環を成すことを学べば、すぐに登場する話で
行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど
逆元を持たない場合も含めて考えれば、一般的環を成す
このとき
逆元を持たない非正則行列
↓↑
零因子の行列
という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
階数・退化次数の定理
数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理（かいすう・たいかじすうのていり、英: rank?nullity theorem）とは、最も簡単な場合、ある行列の階数（rank）と退化次数（nullity）の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理[1]とも呼ばれる。
証明
ここでは二つの証明を与える。初めの証明では、線型変換のための記号を用いるが、T(x) = Ax と書くことによって簡単に行列の場合にも適用できる（ここで A はある m × n 行列）。二つ目の証明では、階数が r のある m × n 行列 A に関する同次系について考え、A の零空間を張る n ? r 個の線型独立な解が存在することを陽的に示す。
第一の証明
略
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