[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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887(5): １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)07:49 ID:nKToy0Oq(1/2)
>>880
ありがと
いま、正則行列の定義で>>852の
”4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”
を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう）
非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する
つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう
xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る
Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない
しかし、Ax = 0だから
AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列）
これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する
つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]”
が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ
”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる
ついでに逆を
AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する
xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする
AX＝Ｏから
Ax = 0が従う
xij≠0だから、自明でない解 xを持つ
QED
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列
特徴づけ
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
・A は正則行列である
・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]
脚注
7.^ 斎藤 1966, p. 60.
参考文献
斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。
888(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/04(火)08:56 ID:lAueiab3(1)
>>887
Aは零因子でない より
一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
(つまりdim Ker A = 0)
のほうが、線形代数らしいけどね
一方でランクに関する条件は
dim Im A = n
に当たる
両者が同値というのは
階数・退化次数の定理
から導ける
線形代数分かってれば自明だけどね
897(4): １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)11:48 ID:tCJGQSNR(4/6)
>>894
>周期の本買ってみたが、計算可能実数や計算不可能実数とか書いてあって面白かったよ
ありがとう
下記の吉永 正彦氏かな
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、斎藤正彦さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある（当時私も買いました）
数学セミナー 2023年1月号 「［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ」（下記）を書かれていましたね
https://アマゾン
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学) February 16, 2016
by 吉永 正彦 (著)
――美しい世界観へ――
Kontsevich-Zagierの予想は本質的に「二つの周期が与えられたときに,
それらが等しいかどうかを判定できるか?」という0-認識問題に対して
「積分の変形で移りあうかどうかを見ることで判定できる」という主張を
するものである. ----まえがき から
レビュー
susumukuni
VINE VOICE
5.0 out of 5 stars 代数的数を超えた世界にも代数的に統制される実数のクラスが存在するというロマンのある世界へと誘ってくれる書
Reviewed in Japan on July 25, 2016
Verified Purchase
二つの実数が与えられたとき、それらが等しいかどうかをアルゴリズミックに判定できるか？という問題を「実数の0-認識問題」という。本書はこの問題を解説する恐らく和書で最初の成書であり、その「面白さと難しさ」を実感できるとても魅力的な書である。
「周期」と呼ばれる実数たちのクラスではこの問題が可解であるという「コンツェビッチ-ザギエ予想」（からの帰結）の解説が本書の主題であるが、関連する話題にも丁寧に触れられているので、この分野を初めて学習される方でも大半の部分をフォローできるのではないかと思う。例えば主題への準備にあたる、「実代数的数のクラスで0-認識問題が可解である」ことや「タルスキーの量化記号消去定理」などの説明は分かり易く、とても好感がもてる。
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8943.html
数学セミナー 2023年1月号
[特集1]
国際数学者会議2022 ――フィールズ賞業績紹介
・［フィールズ賞業績紹介］ホ・ジュニ……吉永正彦 14
898(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/04(火)12:04 ID:7rY7uQ+i(7/8)
>>897
買ったのはその本だけど、吉永 正彦氏は斎藤正彦さん>>887の弟子ではない
吉永正彦氏は齋藤恭司先生(その人は怖い人のようだから呼ぶときや、
呼称などには気を付けた方がいい)の弟子
私はその方の弟子でも何でもない
901: １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)12:45 ID:tCJGQSNR(5/6)
>>897 誤記訂正
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、斎藤正彦さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある
↓
昔、ガロアスレで、猫さんが、吉永 正彦氏が、齋藤恭司さん>>887の弟子だと言っていた記憶がある
齋藤違いですね、多分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BD%8B%E8%97%A4%E6%81%AD%E5%8F%B8
齋藤恭司
齋藤 恭司（さいとう きょうじ、1944年 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。専門は複素解析幾何学、複素解析学、周期積分など。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E6%AD%A3%E5%BD%A6
斎藤 正彦（さいとう まさひこ、1931年 - 2020年12月31日）は、日本の数学者。東京大学名誉教授。
警視総監、台湾総督府総務長官等を歴任した斎藤樹の二男。母禎子は司法大臣、鉄道大臣等を歴任した小川平吉の三女。元駐米大使、元外務事務次官斎藤邦彦は実弟。宮澤喜一元首相の従弟。パリ大学理学博士。
https://researchmap.jp/masahikoyoshinaga
researchmap
吉永 正彦
2009年4月 - 2012年3月京都大学 大学院理学研究科 助教
2007年9月 - 2009年3月神戸大学 大学院理学研究科 助教
975(2): １３２人目の素数さん [] 2023/04/08(土)18:10 ID:bSMWtlup(2/5)
>>968-969
>「正則行列⇔非零因子」
>が、正則行列の判定に全く使えんとわからんとは
意味分からんなｗ
１）零因子の行列A
↓
「AX=Ｏ となる X≠ Ｏ が存在する」（Ｏは零行列）
↓
もし、Aが逆A^-1 を持てば
左辺 A^-1を掛けて、A^-1・AX＝Ｅ・X＝X ここにＥは単位行列
右辺 A^-1・Ｏ＝Ｏ
X＝Ｏで矛盾
↓
背理法によりAは、逆行列を持たないので、非正則
２）逆に、行列Aが、正則行列ではないとする
このとき、>>887より正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
の否定を使う
↓
「一次方程式 Ax = 0 が非自明な解 列ベクトルx ≠ 0 な解を持つ」
↓
この非自明な列ベクトルx ≠ 0を零行列の列に埋め込む
これを、行列Ｏ’とする。Ｏ’≠Ｏだ
AＯ’＝Ｏ である（列ベクトルx以外の列は全て0であるから積の結果は全て0で、列ベクトルxとの積も0）
よって、行列Aは零因子の行列である
３）これは、>>976を再度丁寧に書いただけだが
”零因子の行列A←→行列Aは正則ではない”の同値関係が成立
つまり、体を成分とするnxn行列で、零因子と非正則は同値！だよｗ
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