[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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880(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/04(火)06:04 ID:d+71hYqF(1/4)
零因子って、他の元との関係で決まるもんだよね。
環Rにおいてa∈R 左零因子⇔あるx≠0∈Rが存在して、ax=0が成立する
ところが、aがRの零因子でも、Rの部分環R'において
a∈R'だが、ax=0をみたすR'の元x≠0はまったく存在しない
ということがありうるんだな。
すると、aはRでは零因子だが、R'では零因子ではないことになる。
ではセタボンに問題。
「正方行列の場合に、上記をみたすaとR'の組を具体的に構成してください。」
887(5): １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火)07:49 ID:nKToy0Oq(1/2)
>>880
ありがと
いま、正則行列の定義で>>852の
”4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”
を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう）
非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する
つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう
xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る
Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない
しかし、Ax = 0だから
AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列）
これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する
つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]”
が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ
”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる
ついでに逆を
AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する
xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする
AX＝Ｏから
Ax = 0が従う
xij≠0だから、自明でない解 xを持つ
QED
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列
特徴づけ
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
・A は正則行列である
・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]
脚注
7.^ 斎藤 1966, p. 60.
参考文献
斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。
907(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/05(水)00:16 ID:sPtU4fWh(1)
>>880の問題の解答例
行列
i j
k l
を
i j 0
k l 0
0 0 0
に写す写像をφとおくと、これは行列環M_2からM_3への
単射準同型写像を定める。
M_2のある正則元rに対してφ(r)=a,
φ(M_2)=R', M_3=Rとおくと
aは環Rの零因子（たとえば x=
0 0 0
0 0 0
0 0 1
とおけば、ax=O）
だが、部分環R'の中では零因子ではない。
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