[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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792(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/27(月)12:02 ID:ZryxA1Gf(1/5)
>>190
ありがとう
tractorが、不勉強で初見だな
https://arxiv.org/pdf/1412.7559
[Submitted on 23 Dec 2014 (v1), last revised 1 Aug 2015 (this version, v2)]
An introduction to conformal geometry and tractor calculus, with a view to applications in general relativity
Sean Curry, A. Rod Gover
Abstract. The following are expanded lecture notes for the course of eight one
hour lectures given by the second author at the 2014 summer school Asymptotic
Analysis in General Relativity held in Grenoble by the Institut Fourier. The
first four lectures deal with conformal geometry and the conformal tractor calculus, taking as primary motivation the search for conformally invariant tensors
and diffrerential operators. The final four lectures apply the conformal tractor
calculus to the study of conformally compactified geometries, motivated by the
conformal treatment of infinity in general relativity.
Contents
0. Introduction 2
0.1. Notation and conventions 4
1. Lecture 1: Riemannian invariants and invariant operators 6
1.1. Ricci calculus and Weyl’s invariant theory 7
1.2. Invariant operators, and analysis 8
2. Lecture 2: Conformal transformations and conformal covariance 9
2.1. Conformal Transformations 9
P4
Also left out in these notes is any discussion of conformal spin geometry. In this
case there is again a canonical tractor calculus, known as spin tractor calculus or
local twistor calculus, which is a refinement of the usual conformal tractor calculus
in the same way that spinor calculus is a refinement of the usual tensor calculus
on pseudo-Riemannian spin manifolds. The interested reader is referred to [4, 50].
795(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/27(月)17:07 ID:ZryxA1Gf(2/5)
>>792
>tractor
"tractor calculus math"で検索すると下記ヒット
２件貼る
”This is completely analogous to the more familiar tensor calculus as it has come to dominate (pseudo)-Riemannian geometry. Indeed, there is a very close link between the tractor calculus on a conformal manifold and the tensor calculus on the corresponding ambient metric [5].”か
１）
https://www.semanticscholar.org/paper/COMPUTING-WITH-THE-TRACTOR-CALCULUS-IN-CONFORMAL-Case/11d1538ffa445bcec400c1890c527e3a68825d8d
Corpus ID: 37351971
COMPUTING WITH THE TRACTOR CALCULUS IN CONFORMAL GEOMETRY
Jeffrey S. Case Published 2011
http://www.personal.psu.edu/jqc5026/notes/tractor.pdf
COMPUTING WITH THE TRACTOR CALCULUS IN CONFORMAL GEOMETRY
JEFFREY S. CASE Date: September 23, 2011.
1. Introduction
The tractor calculus is an efficient and powerful tool for working in conformal geometry.
In the sense used here, the tractor calculus provides a systematic method for studying conformal geometry using a distinguished family of vector bundles, the
so-called tractor bundles, together with a distinguished connection.
By construction, these bundles are intrinsically conformally invariant, and thus are particularly well-suited to problems in conformal geometry.
This is completely analogous to the more familiar tensor calculus as it has come to dominate (pseudo)-Riemannian geometry. Indeed, there is a very close link between the tractor calculus on a conformal manifold and the tensor calculus on the corresponding ambient metric [5].
つづく
802(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/28(火)13:10 ID:x3mLpGAH(1/6)
>>792 リンク訂正 >>190→>>790
さて
>>795
>tractor
このtractorは、下記mathoverflow見るとtractor bundleの略記かな？
（ｘｘbundle は、ｘｘ束の意味ですね（下記）。なお、代数の束は、latticeで別もの）
https://mathoverflow.net/questions/401724/cartan-geometry-jet-space-perspective-on-the-tractor-bundle
mathoverflow
Cartan geometry: jet space perspective on the tractor bundle jpdm Aug 14, 2021
Cartan geometryは、下記ですかね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B6%9A_(%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
接続 (微分幾何学)
接続の歴史
レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた[5]（レヴィ＝チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した[6][注釈 2]。ここで「接続」にあたる語（独: Zusammenhang）がはじめて使用された[要出典]。
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。
カルタンの学生にあたるエーレスマン（英語版）は、1940年代から主束やファイバー束を研究した。
1950年にコシュル（英語版）は、ベクトル束の接続の代数的定式化を与えた[9]（接続 (ベクトル束)（英語版））
(引用終り)
つづく
803(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/28(火)13:11 ID:x3mLpGAH(2/6)
>>802
つづき
・主束（principal bundle）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E6%9D%9F
・ファイバー束（fiber bundle, fibre bundle）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
・接続 (ベクトル束)（英語版） Connection (vector bundle) https://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(vector_bundle)
その上で、>>792の下記を見ると
https://arxiv.org/pdf/1412.7559
[Submitted on 23 Dec 2014 (v1), last revised 1 Aug 2015 (this version, v2)]
An introduction to conformal geometry and tractor calculus, with a view to applications in general relativity
で
Appendix A. Conformal Killing vector fields and adjoint tractors 65
A.1. The conformal Cartan bundle and the adjoint tractor bundle 65
A.2. Prolonging the conformal Killing equation 67
A.3. The fundamental derivative and Lie derivatives of tractors 68
とあって、Appendixの意味が、ようやくわかった
やっぱり、”tractor bundle”だったんだ
以上
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