ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2

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622(4): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)10:15 ID:8s9PZXQ2(3/20)
>>621
乗数イデアルの表面をなめただけだが
要するに、特異点を含む場合を、乗数イデアルを使うと処理できるってことかな
そう読めた
複素解析→代数幾何へという流れね

http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h15data-R/119450/119450a.pdf
乗数イデアルの局所的性質の研究高木俊輔 2004
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/cgi-bin/gazo.cgi?no=119450
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究高木俊輔 2004

乗数イデアルは最初 Demailly, Nadel, Siu 等の仕事において，複素解析的文脈で登場した．彼らは線束上の特異計量に付随する乗数イデアルの概念を導入し，乗数イデアルを巻き込んだ形の小平型消滅定理を証明した．その後すぐに乗数イデアルは，特異点解消と食い違い因子を用いて，純代数幾何的に再定式化された．原理的には解析的な乗数イデアルの方がより一般的な概念だが，実際にはこれまでに得られた応用のほとんどは本質的に代数幾何的なものであり，代数的な言葉に翻訳できる．さらに代数的な乗数イデアルはそれ自体で様々な応用を生み出し始めた(cf. [2], [1], [3], [8], [9]). 今やこのイデアルは双有理幾何学において重要な道具となりつつあるように思われる．本論文では，乗数イデアルの局所的性質に関する次の4つの内容を扱う．

いつ乗数イデアルの劣加法性は成立するか？

乗数イデアルの劣加法性とは，イデアルの積の乗数イデアルが，各々の乗数イデアルの積に含まれるという性質である．Demailly-Ein-Lazarsfeld [1] は，複素数体C上定義された非特異代数多様体上でこの劣加法性が成り立つことを証明した．彼らの結果は，可換環論及び代数幾何学に優れた応用を持つ．例えば，正則局所環のイデアルの形式冪の増大度に関する問題[3]や，巨大な因子の体積は爆発の上の豊富な因子の自己交点数によって近似できるという藤田の近似定理[5]などがある．しかしながら彼らの証明は，川又-Viehweg の消滅定理と対角線埋め込みが完全交差であるという事実を用いるため，正標数の体上定義されている多様体や特異点を許す多様体上では機能しない．従って，乗数イデアルの劣加法性がどのような多様体上で成立するか，というのは大変興味深い問題である．この問題について，2次元の場合には，反ネフサイクルによる整閉イデアルの特徴づけを用いると，次の結果が得られる．

623(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)10:41 ID:8s9PZXQ2(4/20)
>>622
石井志保子氏特異点論の問題 Shokurovさん出てくるね
石井志保子さん、猿橋賞の記事を読んだとき、特異点論の研究だとあったね
繋がっているんだね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1731-05.pdf
数理解析研究所講究録
第 1731 巻 2011 年 52-59
特異点論の問題
東京工業大学大学院理工学研究科石井志保子

特異点は代数、幾何，解析のすべての分野にまたがっており、その問
題も多様であるが，ここでは代数幾何学における特異点にしぼって紹
介する．多様体はすべて複素数体上定義されているとする．
多様体 $X$ 上の特異点を調べる場合，広中による特異点解消
$f:Yarrow X$
を用いて，$Y$ 上の標準因子 $K_{Y}$ と $X$ 上の “標準因子 $K_{X}$
” のくい違い
(discrepancy) を調べるのが代数幾何学での一般的な立場である．

系 3.13. $X$ を任意の $n$ 次元多様体，$x\in X$ を閉点とすると，
mld$(x;X, \partial ac_{X})\leq n$
ここで等号が成立することと (X, X) が非特異であることは同値である．
これは Shokurov の予想の変形版に対する答えである．
予想 3.14 (Shokurov [12]). $X$ を $n$ 次元 $\mathbb{Q}$ -Gorenstein 多様体，$x\in X$
を閉点とする．
mld$(x;X, O_{X})\leq n$
ここで等号が成立することと (X, X) が非特異であることは同値である．
$X$ が局所的完全交叉の場合は
mld$(x;X, \partial ac_{X})=$ mld$(x;X, O_{X})$
になるので系 3.13 は Shokurov 予想の答えを与える．上記のように
mld$(x;X, a\partial ac_{X})$
. は良い不変数であることがわかるが，局所完全交叉でない場合は mld$(x; X, \alpha)$ とこれの関係はどうなっているのだろうか?

12. V.V. Shokurov, Problems about Fano varieties, Birational Geometry of Algebraic Varieties-Open Problems, Katata, (1988) 30-32.

つづく

625(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/21(火)11:30 ID:030eOzSs(3/16)
>>621-624
アホ1
全く理解できないネタで粋がる
正真正銘の●違い

626(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)11:32 ID:8s9PZXQ2(6/20)
>>622 関連

https://www.iwanami.co.jp/book/b258667.html
岩波川又雄二郎『高次元代数多様体論』2014/07/25 >>588

https://www.iwanami.co.jp/files/tachiyomi/pdfs/0075980.pdf
試し読み

あらすじ
ビルカー（Birkar），カシーニ（Cascini），ヘーコン（Hacon），マッカーナン（McKernan）
極小モデル・プログラム（minimal model program = MMP）

MMP では，双有理モデルを次々と取り替えていく．その過程で，特異点を
持った代数多様体が必然的に出てくる．ただし，特異点は特殊な正規特異点に
限られる．MMP で現れる特異点は，それ自体としても興味深い研究対象をな
す．高次元代数幾何学の発展によって，緩やかな特異点を許した代数多様体を
考えることが普通になった．

極小モデル理論における証明は，次元やピカール数などの整数値不変量をう
まく使った数学的帰納法を使う．これがうまく機能するためには，考える対象
のカテゴリーを広くとることが必要になる．これが，ログ版（log version）と相
対版（relative version）への拡張である．
ログ版においては，単独の代数多様体 X の代わりに，X とその上の R-因
子 B の組 (X, B) を考える．歴史的な経緯から，これをログ組（log pair）と呼
び，B を境界因子（boundary divisor）と呼ぶ．ここで，R-因子（R-divisor）B
= bjBj は，余次元 1 の部分多様体 Bj たちの実数 bj を係数とする形式的有
限一次結合である．bj たちが有理数の場合には，Q-因子（Q-divisor）と呼ぶ．
標準因子 KX の代わりに，対数的標準因子（log canonical divisor）KX + B が
主役になる．

つづく

641(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:42 ID:8s9PZXQ2(13/20)
>>622
>乗数イデアルは最初 Demailly, Nadel, Siu 等の仕事において，複素解析的文脈で登場した．

これ
”Jean-Pierre Demailly (25 September 1957 ? 17 March 2022)”
か、まだ若かったのに。コロナかも
メモ貼る

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Demailly
Demailly is a French surname. Notable people with the surname include:
Jean-Pierre Demailly (1957?2022), French mathematician

https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Demailly
Jean-Pierre Demailly (25 September 1957 ? 17 March 2022) was a French mathematician who worked in complex geometry.
Multiplier ideals
For a singular metric on a line bundle, Nadel, Demailly, and Yum-Tong Siu developed the concept of the multiplier ideal, which describes where the metric is most singular. There is an analog of the Kodaira vanishing theorem for such a metric, on compact or noncompact complex manifolds.[7] This led to the first effective criteria for a line bundle on a complex projective variety X of any dimension n to be very ample, that is, to have enough global sections to give an embedding of X into projective space. For example, Demailly showed in 1993 that 2K_{X}+12n^{n}L is very ample for any ample line bundle L, where addition denotes the tensor product of line bundles.
The method has inspired later improvements in the direction of the Fujita conjecture.[8]
Kobayashi hyperbolicity
https://en.wikipedia.org/wiki/Kobayashi_metric

つづく

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