[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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363(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)23:44 ID:UeELXD7y(10/14)
>>362
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
体上の斜体、多元体（たげんたい）または可除多元環（かじょたげんかん、英: division algebra）は、大まかには、体上の多元環で除法が自由にできるものをいう。
定義
厳密には、まず体上の多元環 D で、D は零元のみからなるものではないものとする。D が多元体または可除であるとは、D の任意の元 a と D の零元ではない任意の元 b に対して、a = bx なる D の元 x がただ一つ定まり、かつ a = yb なる D の元 y がただ一つ定まることをいう。
結合多元環に対しては、この定義は次のように簡単になる。体上の結合的な多元環が多元体であるための必要十分条件は、それが零元 0 と異なる単位元 1 を持ち、かつ各元 a が乗法逆元（すなわち ax = xa = 1 なる元）を持つことである。このとき多元体は体(field)になっている。
つづく
364(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)23:45 ID:UeELXD7y(11/14)
>>363
つづき
結合的多元体
最もよく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体（つまり、実数体 R 上の多元環で、R 上のベクトル空間として次元が有限なもの）である。フロベニウスの定理によれば、そのような多元体は同型の違いを除いて三種類、実数体（一次元）・複素数体（二次元）、四元数体（四次元）しかない。
ウェダーバーンの小定理によれば D が位数有限なる多元体ならば、D は実は有限体である。
（例えば複素数体 C のような）代数閉体 K 上には、K それ自身を除けば有限次元の結合多元体は存在しない。
結合的多元体は零因子を持たない。逆に（任意の体上の）有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。
A が体 F 上の単位的結合多元環で、S が A 上の単純加群ならば、S の自己準同型環は F 上の多元体であり、F 上の任意の結合多元体はこの方法で得られる。
体 K 上の結合多元体 D の中心 C(D)は、K を含む体となる。D をその中心 C(D) 上の多元体と見たときの次元は、それが有限であるならば必ず平方数 n2 であり、次数 (degree) と呼ばれる n は D の極大可換部分体の中心 C(D) 上の次元と一致する。体 F を一つ固定するとき、F 上有限次元の、（自明でない両側イデアルを持たないという意味で）単純な、結合多元環で中心が F となるようなものの同値類は、体 F のブラウアー群と呼ばれる群を成す。
任意の体上で有限次元の結合多元体を構成するひとつの方法として、一般四元数環を用いる方法が挙げられる（四元数の項も参照）。
有限次元の結合多元体に対して、それらの作る空間が何らかの意味のある位相を備えている場合が特に重要である。例えばノルム付き多元体やバナッハ代数が挙げられる。
つづく
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