[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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361(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)23:43 ID:UeELXD7y(8/14)
>>355 追加
多元数や多元体から、「フロベニウスの定理 (代数学)の項を参照」に到達することもできる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
「超複素数」はこの項目へ転送されています。
数学における多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
歴史
19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数（英語版） (coquaternion), 双四元数（英語版） (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。
カタログ化の試みは1872年にベンジャミン・パースが著書 Linear Associative Algebra（『結合線型環』）を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた[1]。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。ケーリー＝ディクソン構成では、対合を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している（フルヴィッツの定理 (ノルム多元体)（英語版）およびフロベニウスの定理 (代数学)の項を参照）。最終的に、1958年にＪ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実多元体が四種類（実数体 ?, 複素数体 ?, 四元数体 ?, 八元数体 ??）に限り存在することを証明した[2]。
多元数の体系（超複素数系）の手綱をとったのは行列論であった。まず行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン（英語版）は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した。
つづく
362(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)23:44 ID:UeELXD7y(9/14)
>>361
つづき
これ以降、ウェダーバーンのエディンバラ大学での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として結合多元環 (associative algebra) が用いられるようになっていった。それでもなお、八元数や双曲四元数（英語版）のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。
ホーキンス[3] の説明によれば、超複素数系はリー群およびその表現論を学ぶための布石である。例えば、1929年にエミー・ネーターは "Hyperkomplexe Grosen und Darstellungstheorie"（『超複素数量および表現論』）を書き下ろした[4]。1973年に書かれた多元数に関する教科書 Гиперкомплексные числа (Кантор & Солодовников 1973) は各国語で翻訳が出ている[5]。
カレン・パーシャル（英語版）は、テオドール・モリーン（英語版）[6]やエデュアルト・シュテューディ（英語版）[7]らの著名な役割を含む、多元数の黄金時代の詳細な説明を書いている[8]。現代代数学への移り変わりについて、バーテル・リーンデルト・ヴァンデルヴェルデン（英語版）は自身の著書 History of Algebra（『代数学の歴史』）において多元数について30頁の紙幅を割いている[9]。
ケーリー＝ディクソン代数
詳細は「ケーリー＝ディクソンの構成法」を参照
実数体、複素数体、四元数体を除くすべてのクリフォード代数 Cｌp,q(R) は、平方が +1 となる非実元を持ち、従って多元体とならない。複素数を拡張する別のアプローチとしてケーリー＝ディクソン構成をとることが挙げられる。これにより作り出される数体系は、n = 2, 3, 4, … に対して 2n次元で、その基底 {1, i1, …, i2n?1} の非実基底元 im はすべて互いに反交換し、かつ im2 = ?1 を満足する（虚数単位）。こうして得られる多元環は、八次元以上 (n ? 3) で非結合的となり、十六次元以上 (n ? 4) で零因子を含む。
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。
つづく
372: １３２人目の素数さん [] 2023/03/14(火)08:02 ID:5bTCTU61(3/7)
>>361-362 補足
>すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン（英語版）は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した。
>これ以降、ウェダーバーンのエディンバラ大学での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として結合多元環 (associative algebra) が用いられるようになっていった。それでもなお、八元数や双曲四元数（英語版）のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。
ウェダーバーンの修士論文だったみたい
ウェダーバーンの定理って
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