[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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356(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)21:10 ID:UeELXD7y(3/14)
>>355
つづき
例
R を実数体とし、C を複素数体とし、H を四元数体とする。
R 上のすべての有限次元単純代数は R, C, あるいは H 上の行列環でなければならない。R 上のすべての中心的単純代数は R あるいは H 上の行列環でなければならない。これらの結果はフロベニウスの定理から従う。
C 上のすべての有限次元単純代数は C 上の行列環でなければならない。したがって C 上のすべての中心的単純代数は C 上の行列環でなければならない。
有限体上のすべての有限次元中心的単純代数はその体上の行列環でなければならない。
すべての可換半単純環は体の有限個の直積でなければならない[注釈 3]。
アルティン・ウェダーバーンの定理によると体 k 上の半単純代数は有限積
\prod M_{{n_{i}}}(D_{i}) に同型である、ただし
n_{i} は自然数で
D_{i} は
k 上の有限次元可除代数で、
M_{{n_{i}}}(D_{i}) は
D_{i} 上の
n_{i}\times n_{i} 行列の代数である。再び、この積は因子の置換を除いて一意的である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フロベニウスの定理（ふろべにうすのていり、英: the Frobenius theorem）とは、実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって1877年に証明された。この定理は、可換でない実数上の結合的多元体は四元数体しかないことを証明している。
内容
D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）
つづく
357(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月)21:11 ID:UeELXD7y(4/14)
>>356
つづき
（参考）英語版に詳しい証明がある、ただし文字化けなおさず。本文参照ください
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
Frobenius theorem (real division algebras)
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the Frobenius theorem, proved by Ferdinand Georg Frobenius in 1877, characterizes the finite-dimensional associative division algebras over the real numbers. According to the theorem, every such algebra is isomorphic to one of the following:
R (the real numbers)
C (the complex numbers)
H (the quaternions).
These algebras have real dimension 1, 2, and 4, respectively. Of these three algebras, R and C are commutative, but H is not.
Proof
The main ingredients for the following proof are the Cayley?Hamilton theorem and the fundamental theorem of algebra.
Introducing some notation
Let D be the division algebra in question.
Let n be the dimension of D.
We identify the real multiples of 1 with R.
When we write a <= 0 for an element a of D, we tacitly assume that a is contained in R.
We can consider D as a finite-dimensional R-vector space. Any element d of D defines an endomorphism of D by left-multiplication, we identify d with that endomorphism. Therefore, we can speak about the trace of d, and its characteristic and minimal polynomials.
For any z in C define the following real quadratic polynomial:
Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(x-z)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].
Note that if z ∈ C ? R then Q(z; x) is irreducible over R.
つづく
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