[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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189(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/09(木)23:41 ID:dVtCH7NE(5/6)
>>187
>>>シュミットの直交化は、量子力学で出てきた記憶が・・
>同時にエルミート多項式も浮かんできませんでしたか？
すみません
浮かびませんでした（苦笑）（検索すると下記か）
エルミートで浮かぶのは、エルミート行列に
５次方程式の解法（エルミートの方法）（下記）
とか
ラゲールの球関数を使ったとか、朧気な記憶が・・
下記だったような
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
エルミート多項式
エルミート多項式（-たこうしき、英: Hermite polynomial）は、常微分方程式
略
を満たす多項式
H_n(x)のことを言う[1][2]。 またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E9%99%AA%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
ラゲールの陪多項式
ラゲールの陪多項式（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、常微分方程式
略
を満たす多項式
L_{n}^{k}(x)} のことを言う。
量子力学において、球対称ポテンシャルのシュレディンガー方程式（代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式）の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。
つづく
190(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/09(木)23:43 ID:dVtCH7NE(6/6)
>>189
つづき
https://ikuro-kotaro.サクラ.ne.jp/koramu/4469_h8.htm
■５次方程式・再訪（その６）
【１】５次方程式の解法（エルミートの方法）
アーベルとガロアが証明したことは一般的な５次方程式が係数の単純な演算を行う公式では解けないということであって，５次方程式が解けないという意味ではありません．１８６０年頃，ブリオスキ，エルミートらは超越関数である楕円モジュラー関数の５等分値を使って，初めて一般的な５次方程式を解くことに成功しました．
ヴィエトは三角関数の３倍角公式を使って３次方程式を解いたわけですが，エルミートの方法もそれに似ていて，定数κに対して，楕円関数の５倍角公式
ｄｙ／｛（１－ｙ^2）（１－λ^2ｙ^2）｝^1/2＝ｄｘ／５｛（１－ｘ^2）（１－κ^2ｘ^2）｝^1/2
の定数λを得る方法を開発したのです．
【２】クラインの見た正２０面体（正２０面体方程式）
１８７０年代のクラインの研究は，正２０面体を複素球面に内接させ，頂点，各面の中心，各辺の中点の座標の関係（正２０面体方程式）を任意の５次方程式に還元させて，一般の５次方程式と特殊な６次方程式を解くのに成功しています．この５次方程式を多面体を使って調べるというアイディアは，
クライン「正２０面体と５次方程式」シュプリンガー・フェアラーク東京
に紹介されています．
(引用終り)
以上
196(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/10(金)07:00 ID:14LHUOWE(2/7)
>>189
エルミート多項式と量子力学でググるとこんなのも出て来たので貼ります。↓
エルミート多項式列って言うのはエルミートの微分方程式の解になる
直行多項式列のことです。これが調和振動子のシュレディンガー方程式を解くと
出てくるというだけです。最初はふーんそうなのかーって感じでいいと思います。
この先量子力学ではルジャンドル多項式とかラゲール多項式とか直交多項式がいっぱい
出てきます。でもあんまりそこで深入りしちゃうと挫折します。
とりあえず調和振動子のシュレディンガー方程式を解くと
エルミート多項式が出てくるというぐらいで次々進んでいった方がいいです。
量子力学は数学ではなく物理なので数学に囚われて物理が疎かになってはいけません。
しかし量子力学は線形代数と密接に関わってます。ベクトル空間と、
固有ベクトルと対角化が理解できて無いと
量子力学は理解できないのでそこだけは出来るだけ完璧にした方がいいです。
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