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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/
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890: １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火) 10:34:25.24 ID:tCJGQSNR >>888 >両者が同値というのは >階数・退化次数の定理 >から導ける 一応フォローしておきますね（下記） さて >Aは零因子でない 行列の成分を、実数ないし複素数として 零因子の話は、nxnの正方行列が環を成すことを学べば、すぐに登場する話で 行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど 逆元を持たない場合も含めて考えれば、一般的環を成す このとき 逆元を持たない非正則行列 ↓↑ 零因子の行列 という同値関係は、当然知っておくべきと思うよ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 階数・退化次数の定理 数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理（かいすう・たいかじすうのていり、英: rank?nullity theorem）とは、最も簡単な場合、ある行列の階数（rank）と退化次数（nullity）の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理[1]とも呼ばれる。 証明 ここでは二つの証明を与える。初めの証明では、線型変換のための記号を用いるが、T(x) = Ax と書くことによって簡単に行列の場合にも適用できる（ここで A はある m × n 行列）。二つ目の証明では、階数が r のある m × n 行列 A に関する同次系について考え、A の零空間を張る n ? r 個の線型独立な解が存在することを陽的に示す。 第一の証明 略 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/890
913: １３２人目の素数さん [] 2023/04/05(水) 12:01:22.87 ID:joMjBMfa >>911 ありがとう > 900の「正則行列の集合は体にならない.」など。 下記の雪江 用語の問題ですね （用語の問題を整理することは意味があると思うので、調べて書いておきます） １）まずこの話は、>>890 「行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど」から始まっている そして、>>895「こういう文章は書いてはいけないと 数学科では指導される」だった 確かに、雑な文章ではある 二つ問題があると思う。 i)零行列は逆元を持たないのに除外していない ii)"（非可換）体"という用語が適切か ２）下記の雪江 用語の問題では、「可除環」(Division ring)を使うという ３）ja.wikipedia 体 (数学) （ここに用語の一覧表があり参考になる）では、非可換を含む立場（上記”（非可換）体”に同じ） ４）そして、fr.wikipedia Corps (mathematiques) 仏語 も上記の体 (数学) と同じ立場（非可換を含むもあり） ５）一方、英(en.wikipedia) Field、独 Korper (Algebra)は、積のアーベル（abelian）を要求する立場ですね 纏めると、”零要素が逆元を持たない”は、数学科生は意識しておくべきはその通りです 用語”体”が、いま2023年の日本の数学科で、積のアーベルを要求するかどうか？ 多分、下記雪江の通りと思います（米国の影響か） しかし、下記仏Corps (mathematiques) みたいなのもあるということは(仏は米に服さないの気概？)、ちょっと知っておくのも良いと思います つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/913
916: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/05(水) 12:41:21.05 ID:doTWM65u >>913 >１）まずこの話は、>>890 「行列Aすべてが積の逆元を持つように、正則行列の集合を考えれば（非可換）体になるけれど」から始まっている > そして、>>895「こういう文章は書いてはいけないと 数学科では指導される」だった > 確かに、雑な文章ではある > 二つ問題があると思う。 > i)零行列は逆元を持たないのに除外していない > ii)"（非可換）体"という用語が適切か 非可換体ではなく非可換環な 非可換環という言葉はよく使われる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/916
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