[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/

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880: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/04(火) 06:04:41.69 ID:d+71hYqF 零因子って、他の元との関係で決まるもんだよね。 環Rにおいてa∈R 左零因子⇔あるx≠0∈Rが存在して、ax=0が成立する ところが、aがRの零因子でも、Rの部分環R'において a∈R'だが、ax=0をみたすR'の元x≠0はまったく存在しない ということがありうるんだな。 すると、aはRでは零因子だが、R'では零因子ではないことになる。 ではセタボンに問題。 「正方行列の場合に、上記をみたすaとR'の組を具体的に構成してください。」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/880

887: １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火) 07:49:00.69 ID:nKToy0Oq >>880 ありがと いま、正則行列の定義で>>852の ”4.　　一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない” を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう） 非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない しかし、Ax = 0だから AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列） これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]” が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ ”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる ついでに逆を AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする AX＝Ｏから Ax = 0が従う xij≠0だから、自明でない解 xを持つ QED (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97 正則行列 特徴づけ 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。 ・A は正則行列である ・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7] 脚注 7.^ 斎藤 1966, p. 60. 参考文献 斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/887

907: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/05(水) 00:16:38.35 ID:sPtU4fWh >>880の問題の解答例 行列 i j k l を i j 0 k l 0 0 0 0 に写す写像をφとおくと、これは行列環M_2からM_3への 単射準同型写像を定める。 M_2のある正則元rに対してφ(r)=a, φ(M_2)=R', M_3=Rとおくと aは環Rの零因子（たとえば x= 0 0 0 0 0 0 0 0 1 とおけば、ax=O） だが、部分環R'の中では零因子ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/907

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