[過去ﾛｸﾞ]
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
抽出解除
ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索
歴削→次ｽﾚ
栞削→次ｽﾚ
過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制
です｡10分ほどで解除するので､
他のﾌﾞﾗｳｻﾞ
へ避難してください｡
852: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日) 07:16:03.04 ID:MWc2ll13 >>850 > 零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか 確かに非正則行列は零因子であるし、逆も真だが 非正則の条件として答えることはないな 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。 1. A は正則行列である（AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在する） 1R. AB = E となる n 次正方行列 B が存在する 1L. BA = E となる n 次正方行列 B が存在する 2. A の階数は n である 3L. A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる 3R. A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる 4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない 5. A の行列式は 0 ではない 6C. A の列ベクトルの族は線型独立である 6R A の行ベクトルの族は線型独立である 7. A の固有値は、どれも 0 でない ついでにいうと、行列の階数として以下の1を定義としたとき、2以降のいずれも1と同値 1. A に基本変形を施して階段行列 B を得たときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される） 2. 表現行列 A の線型写像の像空間の次元。 3C. A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元） 3R. A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元） 4. A の 0 でないような小行列式の最大サイズ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/852
856: １３２人目の素数さん [] 2023/04/02(日) 08:18:19.72 ID:CtFh/chl >>855 >手を動かさないと解析は無理 ありがとう これから、ハーン・バナッハの定理を勉強する若者のために >>852 >> 零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか > 確かに非正則行列は零因子であるし、逆も真だが > 非正則の条件として答えることはないな なるほど しかし、”零因子行列→零因子の行列”とでも言えば、良かったかも だが、線形代数で零因子を知っていれば、”零因子行列→零因子の行列”以外に解釈のしようもないでしょう (参考) https://yoshiiz.blog.fc2.com/blog-entry-147.html よしいずの雑記帳 2010-08-05 体上の正方行列が零因子になる条件 体(例：実数体、複素数体)上の正方行列が零因子になる条件は、基本的な結果であり、それを導くのも難しくないのですが、線型代数や代数学の入門書には意外と書かれていません。 まず、体上の正方行列は、零因子か正則行列のどちらかです。しかも、一方のみ成り立ちます。つまり、正則行列かつ零因子であるようなものは存在しません。 よく知られているように、正則行列であるための必要十分条件は、行列式が0でないことです。後者はさらに、0が固有値でないことと同値です。この対偶を考えれば、体上の正方行列について、以下の条件がすべて同値であることがわかります。 ・零因子である ・行列式が0になる ・0が固有値の一つである 一般に、零因子には左零因子と右零因子があります。ところが、体上の行列においては、左零因子であることと右零因子であることは同値になります。しかも、Aが零因子のとき、あるOでない正方行列Xが存在してAX=XA=Oとなります(ヒント：行列Aの最小多項式を考える)。ただし、AX=Oを満たす全てのXが必ずしもXA=Oを満たすとは限りません。その逆も同様です。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/856
859: １３２人目の素数さん [] 2023/04/02(日) 08:41:29.70 ID:CtFh/chl >>852 補足追加 (引用開始) 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。 1. A は正則行列である（AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在する） 4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない 5. A の行列式は 0 ではない (引用終り) そうですね そして ”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない” の否定 ”一次方程式 Ax = 0 が非自明な解xを持つ” が、 Aが零因子であることの定義ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/859
876: １３２人目の素数さん [] 2023/04/02(日) 12:40:58.12 ID:RzjD2dSg >>874-875 ありがとう > Ax = 0 が非自明な解xを持つことと >Aが零因子であることは同値であるけど > 前者は零因子であることの定義ではない >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90 >Ax = 0 で、Aは行列環の要素だが、 >xと0はベクトルであって行列環の要素ではない なるほど しかし 上記 Wikipedia より "定義 環 R の元 a は、ax=0 となる x≠ 0 が存在するとき、すなわち x∈ R ＼{0}:ax=0 を満たすときに 左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。 左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]” (引用終り) でしょ で、いま簡便に、nxnの正方行列が零因子であることを、 大文字を使って AX＝Ｏ （∃X≠Ｏ ここにＯは零行列）としよう Ax = 0 で非自明なベクトル解xをもつ ↓（非自明なベクトルxを使って） 非自明な行列Xが構成できて、AX＝Ｏとできる 逆に 非自明な行列XでAX＝Ｏ成立なら ↓（非自明な行列Xを使って） Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが構成できる だから、両者は同値で、 ”Ax = 0 で非自明なベクトル解x”の存在は、行列が零因子であることの定義に使えるね！ なおついでに、>>852の前段は、下記にあったね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97 正則行列 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/876
879: １３２人目の素数さん [] 2023/04/03(月) 23:22:28.10 ID:xqHDPLqW >>878 (大学学部の1年で学ぶ線形代数を想定して) いま、簡単に行列の成分が、実数Rないし複素数Cからなるとしよう 実数R、複素数Cは、（可換）体であることに注意しよう（>>856 https://yoshiiz.blog.fc2.com/blog-entry-147.html よしいずの雑記帳も ご参照 ） このとき、>>852よりnxn の正方行列 A が、正則行列である条件として およそ7つの条件が示され、これらは同値である これら7つの条件のどれかを、正則行列の定義とすることができる ある一つの条件を満たせば、同値性から他の条件を満たすから 同様に、非正則行列の定義として、これら7つの条件のどれか一つの否定採用することができる ある一つを否定すれば、同値性から それは他の条件を否定したことになるから 我々は、成分が実数Rないし複素数Cからなる正方行列において 非正則行列が零因子の行列であり、その逆も成り立つことを知っている（上記 よしいずの雑記帳 ご参照 ） つまり、非正則行列すなわち零因子の行列なのだ だから、非正則行列の定義を、そのまま零因子の行列として採用してよいのだ！ これが、数学的帰結である 「零因子は環の用語」だとか、うんぬんかんぬんのアホがいるｗ>>878 全く無関係の あさっての議論で、そういう頭だから落ちこぼれになるのだろうねｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97 行列 成分 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/879
887: １３２人目の素数さん [] 2023/04/04(火) 07:49:00.69 ID:nKToy0Oq >>880 ありがと いま、正則行列の定義で>>852の ”4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない” を採用しよう（これは、下記 wikipediaにある。証明は、斎藤正彦 『線型代数入門』p. 60にあるらしい。探せば、他の文献も見つかるだろう） 非正則行列として、”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない”を否定する つまり、xを列ベクトルとして、xは0でない成分を持つ。それを簡単にxjと書こう xを含むnxnの正方行列 Xとして、xを列のi番目として左右に成分が0のみの列ベクトルを配置するとX＝(O・・OxO・・・O)が出来る Xは、0でない成分xjを持つから、零行列ではない しかし、Ax = 0だから AX＝Ｏが導かれる（Ｏはnxnの零行列） これは、行列Aが零因子の行列であることを意味する つまり、下記の”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]” が、零因子の行列の定義に一番近いってことだ ”非正則行列→零因子の行列”は、簡単にでる ついでに逆を AX＝Ｏで、行列Xが零行列でないとすると、ある0でない成分xijが存在する xijを含む列ベクトルを行列Xから取り出し、xとする AX＝Ｏから Ax = 0が従う xij≠0だから、自明でない解 xを持つ QED (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97 正則行列 特徴づけ 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。 ・A は正則行列である ・一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7] 脚注 7.^ 斎藤 1966, p. 60. 参考文献 斎藤正彦 『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/887
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.042s