[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/

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543: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土) 23:18:41.86 ID:M09HE8oG >>535 >https://en.wikipedia.org/wiki/Reproducing_kernel_Hilbert_space >Reproducing kernel Hilbert space 追加引用 （一部google訳） https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Different_Views_on_RKHS.png 図は、RKHS を表示するための関連するさまざまなアプローチを示しています。 RKHS ではない関数のヒルベルト空間を構成することは、完全に単純ではありません。[1]ただし、いくつかの例が見つかっています。[2] [3] It is not entirely straightforward to construct a Hilbert space of functions which is not an RKHS.[1] Some examples, however, have been found.[2][3] L2 spaces are not Hilbert spaces of functions (and hence not RKHSs), but rather Hilbert spaces of equivalence classes of functions (for example, the functions f and g defined by f(x)=0 and g(x)=1_Q are equivalent in L2). However, there are RKHSs in which the norm is an L2-norm, such as the space of band-limited functions (see the example below). An RKHS is associated with a kernel that reproduces every function in the space in the sense that for every x in the set on which the functions are defined, "evaluation at x" can be performed by taking an inner product with a function determined by the kernel. Such a reproducing kernel exists if and only if every evaluation functional is continuous. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/543

544: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土) 23:19:18.71 ID:M09HE8oG >>543 つづき The reproducing kernel was first introduced in the 1907 work of Stanis?aw Zaremba concerning boundary value problems for harmonic and biharmonic functions. James Mercer simultaneously examined functions which satisfy the reproducing property in the theory of integral equations. The idea of the reproducing kernel remained untouched for nearly twenty years until it appeared in the dissertations of Gabor Szeg?, Stefan Bergman, and Salomon Bochner. The subject was eventually systematically developed in the early 1950s by Nachman Aronszajn and Stefan Bergman.[4] これらの空間には、複雑な解析、調和解析、量子力学など、幅広い用途があります。カーネル ヒルベルト空間の再現は、経験的リスク汎関数を最小化する RKHS 内のすべての関数は、トレーニング ポイントで評価されるカーネル関数の線形結合として記述できると述べている有名な代表定理のため、統計学習理論の分野で特に重要です。これは、経験的リスク最小化問題を無限次元から有限次元の最適化問題に 効果的に単純化するため、実際に役立つ結果です。 理解を容易にするために、実数値ヒルベルト空間のフレームワークを提供します。この理論は、複素数値関数の空間に容易に拡張できるため、分析関数の空間であるカーネル ヒルベルト空間を再現する多くの重要な例が含まれています。[5] (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/544

545: １３２人目の素数さん [] 2023/03/18(土) 23:55:47.55 ID:M09HE8oG >>543 追加 そうそう Square-integrable_function L2（＝L^2のこと） 数列では、ｌ2（ｌは筆記体のつもり） ”ヒルベルト空間でもある；”だった https://en.wikipedia.org/wiki/Square-integrable_function Square-integrable function In mathematics, a square-integrable function, also called a quadratically integrable function or L^2 function or square-summable function,[1] is a real- or complex-valued measurable function for which the integral of the square of the absolute value is finite. Thus, square-integrability on the real line (-∞ ,+∞ ) is defined as follows. 略 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E4%B9%97%E5%8F%AF%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%87%BD%E6%95%B0 自乗可積分函数 自乗可積分函数（じじょうかせきぶんかんすう、英: square-integrable function）とは、実数値または複素数値可測函数で絶対値の自乗の積分が有限であるものである。 自乗可積分函数の空間は、Lp 空間のp = 2 に対応する。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/545

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