[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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554(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/19(日)04:20 ID:hk46K0L/(1/5)
>>526-528
しょうがない
ポントリャーギンの連続群論での4元数体の定義などを書く
ポントリャーギンの連続群論では
群、環、体、可換体、…、線型空間、位相に関する概念、位相群、…、多元体、位相環、位相体、…、4元数体
の順番に定義されている。但し、多元体や有限次拡大体という言葉は定義されていない
4元数体の定義を記号などを訂正したり現代流にアレンジしながら引用して書く
Hを1つの4次元ベクトル空間とする。任意のHのベクトルxは基底 (1,i,j,k) の1次結合として
x＝a+bi+cj+dk a,b,c,d∈R と一意的に表される。以下i,j,kを単位4元数という
Hに乗法を(Hは乗法と)、分配律を満たし、かつ実数は単位4元数と(乗法と加法について)可換で、
単位4元数の間の乗法の規則が
ij＝-ji＝k、 jk＝-kj＝i、 ki＝-ik＝i、 i^2＝j^2＝k^2＝-1
となるように定義する。集合Hはこの加法と乗法により一つの連続体(即ち、局所コンパクトであって、
尚かつディスクリート(離散的)でない位相体)を作ることが示される
(ここは、集合Hはこの加法と乗法により一つの局所コンパクトであって、
尚かつディスクリート(離散的)でない位相多元体の誤植)を作ることが示される
体(ここは多元体の誤植)Hを4元数体といい、その元を4元数という
(……)内の誤植などを取り除けば、ほぼポントリャーギンの連続群論での原文を現代流にアレンジして引用した定義になる
その定義の下で、Hは実数体上の有限次拡大体(多分、実数体上の有限次の必ずしも可換でない拡大体
即ち実数体上の多元体の誤植)という言葉が用いられてる
555: １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/19(日)04:24 ID:hk46K0L/(2/5)
>>554の4元数体の最初の文の訂正：
Hを1つの4次元ベクトル空間とする。 → Hを1つの4次元「実」ベクトル空間とする。
556: １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/19(日)04:34 ID:hk46K0L/(3/5)
多元体という言葉は4章の出だしで空気のように出て来る
但し、多元体の正確な定義はなされていない
560: １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/19(日)07:10 ID:hk46K0L/(4/5)
>>558
有限次拡大体がその定義になるから、昨日は四元数体を体と解釈したんだよ
561(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/03/19(日)07:13 ID:hk46K0L/(5/5)
体は可換体
非可換体の有限次拡大体というのは知らない
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