ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2

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355: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:09:37.16 ID:UeELXD7y

>>352
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
>ウェダーバーンの定理 (Wedderburn's theorem)
>アルティン・ウェダーバーンの定理、半単純環と半単純多元環の分類

なるほど、下記ですね
フロベニウスの定理ね、英文版には証明が詳しいね（下記）

（参考）ただし文字化けなおさず。本文参照ください
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アルティン・ウェダーバーンの定理
アルティン・ウェダーバーンの定理 (英: Artin?Wedderburn theorem) は半単純環や半単純代数の分類定理である。

定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。

直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。

R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。

アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/355

357: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:11:19.15 ID:UeELXD7y

>>356
つづき

（参考）英語版に詳しい証明がある、ただし文字化けなおさず。本文参照ください
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
Frobenius theorem (real division algebras)
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the Frobenius theorem, proved by Ferdinand Georg Frobenius in 1877, characterizes the finite-dimensional associative division algebras over the real numbers. According to the theorem, every such algebra is isomorphic to one of the following:
R (the real numbers)
C (the complex numbers)
H (the quaternions).
These algebras have real dimension 1, 2, and 4, respectively. Of these three algebras, R and C are commutative, but H is not.

Proof
The main ingredients for the following proof are the Cayley?Hamilton theorem and the fundamental theorem of algebra.

Introducing some notation
Let D be the division algebra in question.
Let n be the dimension of D.
We identify the real multiples of 1 with R.
When we write a <= 0 for an element a of D, we tacitly assume that a is contained in R.
We can consider D as a finite-dimensional R-vector space. Any element d of D defines an endomorphism of D by left-multiplication, we identify d with that endomorphism. Therefore, we can speak about the trace of d, and its characteristic and minimal polynomials.
For any z in C define the following real quadratic polynomial:

Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(x-z)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].
Note that if z ∈ C ? R then Q(z; x) is irreducible over R.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/357

358: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:11:52.56 ID:UeELXD7y

>>357
つづき

The claim
The key to the argument is the following

Claim. The set V of all elements a of D such that a2 <= 0 is a vector subspace of D of dimension n - 1. Moreover D = R 〇+ V as R-vector spaces, which implies that V generates D as an algebra.
Proof of Claim: Let m be the dimension of D as an R-vector space, and pick a in D with characteristic polynomial p(x). By the fundamental theorem of algebra, we can write

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \backslash \mathbf {R} .
We can rewrite p(x) in terms of the polynomials Q(z; x):

p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).
Since zj ∈ C\R, the polynomials Q(zj; x) are all irreducible over R. By the Cayley?Hamilton theorem, p(a) = 0 and because D is a division algebra, it follows that either a ? ti = 0 for some i or that Q(zj; a) = 0 for some j. The first case implies that a is real. In the second case, it follows that Q(zj; x) is the minimal polynomial of a. Because p(x) has the same complex roots as the minimal polynomial and because it is real it follows that

p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}|^{2}\right)^{k}

Since p(x) is the characteristic polynomial of a the coefficient of x2k?1 in p(x) is tr(a) up to a sign. Therefore, we read from the above equation we have: tr(a) = 0 if and only if Re(zj) = 0, in other words tr(a) = 0 if and only if a2 = ?|zj|2 < 0.

So V is the subset of all a with tr(a) = 0. In particular, it is a vector subspace. The rank?nullity theorem then implies that V has dimension n - 1 since it is the kernel of

{\displaystyle \operatorname {tr} :D\to \mathbf {R} }. Since R and V are disjoint (i.e. they satisfy

{\displaystyle \mathbf {R} \cap V=\{0\}}), and their dimensions sum to n, we have that D = R 〇+ V.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/358

359: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:12:59.40 ID:UeELXD7y

>>358

つづき

The finish
For a, b in V define B(a, b) = (?ab ? ba)/2. Because of the identity (a + b)2 ? a2 ? b2 = ab + ba, it follows that B(a, b) is real. Furthermore, since a2 <= 0, we have: B(a, a) > 0 for a ≠ 0. Thus B is a positive definite symmetric bilinear form, in other words, an inner product on V.

Let W be a subspace of V that generates D as an algebra and which is minimal with respect to this property. Let e1, ..., en be an orthonormal basis of W with respect to B. Then orthonormality implies that:

e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.
If n = 0, then D is isomorphic to R.

If n = 1, then D is generated by 1 and e1 subject to the relation e2
1 = ?1. Hence it is isomorphic to C.

If n = 2, it has been shown above that D is generated by 1, e1, e2 subject to the relations

e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.
These are precisely the relations for H.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/359

360: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 21:13:18.99 ID:UeELXD7y

>>359
つづき

If n > 2, then D cannot be a division algebra. Assume that n > 2. Let u = e1e2en. It is easy to see that u2 = 1 (this only works if n > 2). If D were a division algebra, 0 = u2 ? 1 = (u ? 1)(u + 1) implies u = ±1, which in turn means: en = ?e1e2 and so e1, ..., en?1 generate D. This contradicts the minimality of W.

Remarks and related results
The fact that D is generated by e1, ..., en subject to the above relations means that D is the Clifford algebra of Rn. The last step shows that the only real Clifford algebras which are division algebras are Cｌ0, Cｌ1 and Cｌ2.
As a consequence, the only commutative division algebras are R and C. Also note that H is not a C-algebra. If it were, then the center of H has to contain C, but the center of H is R. Therefore, the only finite-dimensional division algebra over C is C itself.
This theorem is closely related to Hurwitz's theorem, which states that the only real normed division algebras are R, C, H, and the (non-associative) algebra O.
Pontryagin variant. If D is a connected, locally compact division ring, then D = R, C, or H.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/360

361: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 23:43:30.93 ID:UeELXD7y

>>355 追加
多元数や多元体から、「フロベニウスの定理 (代数学)の項を参照」に到達することもできる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
「超複素数」はこの項目へ転送されています。
数学における多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。

歴史
19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数（英語版） (coquaternion), 双四元数（英語版） (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。

カタログ化の試みは1872年にベンジャミン・パースが著書 Linear Associative Algebra（『結合線型環』）を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた[1]。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。ケーリー＝ディクソン構成では、対合を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している（フルヴィッツの定理 (ノルム多元体)（英語版）およびフロベニウスの定理 (代数学)の項を参照）。最終的に、1958年にＪ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実多元体が四種類（実数体 ?, 複素数体 ?, 四元数体 ?, 八元数体 ??）に限り存在することを証明した[2]。

多元数の体系（超複素数系）の手綱をとったのは行列論であった。まず行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン（英語版）は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/361

362: １３２人目の素数さん [] 2023/03/13(月) 23:44:08.80 ID:UeELXD7y

>>361
つづき

これ以降、ウェダーバーンのエディンバラ大学での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として結合多元環 (associative algebra) が用いられるようになっていった。それでもなお、八元数や双曲四元数（英語版）のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。

ホーキンス[3] の説明によれば、超複素数系はリー群およびその表現論を学ぶための布石である。例えば、1929年にエミー・ネーターは "Hyperkomplexe Grosen und Darstellungstheorie"（『超複素数量および表現論』）を書き下ろした[4]。1973年に書かれた多元数に関する教科書 Гиперкомплексные числа (Кантор & Солодовников 1973) は各国語で翻訳が出ている[5]。

カレン・パーシャル（英語版）は、テオドール・モリーン（英語版）[6]やエデュアルト・シュテューディ（英語版）[7]らの著名な役割を含む、多元数の黄金時代の詳細な説明を書いている[8]。現代代数学への移り変わりについて、バーテル・リーンデルト・ヴァンデルヴェルデン（英語版）は自身の著書 History of Algebra（『代数学の歴史』）において多元数について30頁の紙幅を割いている[9]。

ケーリー＝ディクソン代数
詳細は「ケーリー＝ディクソンの構成法」を参照
実数体、複素数体、四元数体を除くすべてのクリフォード代数 Cｌp,q(R) は、平方が +1 となる非実元を持ち、従って多元体とならない。複素数を拡張する別のアプローチとしてケーリー＝ディクソン構成をとることが挙げられる。これにより作り出される数体系は、n = 2, 3, 4, … に対して 2n次元で、その基底 {1, i1, …, i2n?1} の非実基底元 im はすべて互いに反交換し、かつ im2 = ?1 を満足する（虚数単位）。こうして得られる多元環は、八次元以上 (n ? 3) で非結合的となり、十六次元以上 (n ? 4) で零因子を含む。

この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/362

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