[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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876(1): １３２人目の素数さん [] 2023/04/02(日)12:40 ID:RzjD2dSg(1)
>>874-875
ありがとう

>　Ax = 0 が非自明な解xを持つことと
>Aが零因子であることは同値であるけど
>　前者は零因子であることの定義ではない
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
>Ax = 0　で、Aは行列環の要素だが、
>xと0はベクトルであって行列環の要素ではない

なるほど
しかし
上記 Wikipedia より
"定義
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠ 0 が存在するとき、すなわち
x∈ R ＼{0}:ax=0
を満たすときに
左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]”
(引用終り)

でしょ
で、いま簡便に、nxnの正方行列が零因子であることを、
大文字を使って AX＝Ｏ （∃X≠Ｏ ここにＯは零行列）としよう

Ax = 0 で非自明なベクトル解xをもつ
　↓（非自明なベクトルxを使って）
非自明な行列Xが構成できて、AX＝Ｏとできる

逆に
非自明な行列XでAX＝Ｏ成立なら
　↓（非自明な行列Xを使って）
Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが構成できる

だから、両者は同値で、
”Ax = 0 で非自明なベクトル解x”の存在は、行列が零因子であることの定義に使えるね！

なおついでに、>>852の前段は、下記にあったね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列

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