[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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852(5): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)07:16 ID:MWc2ll13(1/6)
>>850
> 零因子行列という言い方はあまり使われないのではなかろうか
確かに非正則行列は零因子であるし、逆も真だが
非正則の条件として答えることはないな
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
1. A は正則行列である（AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在する）
1R. AB = E となる n 次正方行列 B が存在する
1L. BA = E となる n 次正方行列 B が存在する
2. A の階数は n である
3L. A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
3R. A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる
4. 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
5. A の行列式は 0 ではない
6C. A の列ベクトルの族は線型独立である
6R A の行ベクトルの族は線型独立である
7. A の固有値は、どれも 0 でない
ついでにいうと、行列の階数として以下の1を定義としたとき、2以降のいずれも1と同値
1. A に基本変形を施して階段行列 B を得たときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
2. 表現行列 A の線型写像の像空間の次元。
3C. A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）
3R. A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）
4. A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
853: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)07:21 ID:MWc2ll13(2/6)
>>851
任意の正方行列に対して余因子行列は存在する
854: １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)07:28 ID:MWc2ll13(3/6)
「Aが零因子でない」ではなく
「Aとその余因子行列との積が零行列でない」なら
ちょっとは面白いか
874(2): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)11:02 ID:MWc2ll13(4/6)
>>859
> ”一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない” の否定
> ”一次方程式 Ax = 0 が非自明な解xを持つ” が、
> Aが零因子であることの定義ですね
違うけど
もちろん、
Ax = 0 が非自明な解xを持つことと
Aが零因子であることは同値であるけど
前者は零因子であることの定義ではない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
875(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)11:08 ID:MWc2ll13(5/6)
ID:CtFh/chl は環がわかってないな
Ax = 0 で、Aは行列環の要素だが、
xと0はベクトルであって行列環の要素ではない
行列とベクトルが同じだと言ってるんじゃ
代数学の本読んでも全く理解できない筈だ
878(1): １３２人目の素数さん [sage] 2023/04/02(日)18:25 ID:MWc2ll13(6/6)
>>876
> Ax = 0 で非自明なベクトル解xをもつ
> ↓（非自明なベクトルxを使って）
> 非自明な行列Xが構成できて、AX＝Ｏとできる
> 逆に
> 非自明な行列XでAX＝Ｏ成立なら
> ↓（非自明な行列Xを使って）
> Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが構成できる
> だから、両者は同値で、
それは>>874にも書いた通り、全く否定してない
つまり、上記は全く無駄な文章
> ”Ax = 0 で非自明なベクトル解x”の存在は、
>行列が零因子であることの定義に使えるね！
おかしい
零因子は環の用語
任意の環の要素がベクトル間の線形写像というわけではない
したがって、零因子という言葉の定義として
行列に限定した条件
「Ax = 0 なる非自明なベクトル解xが存在する」
を使うことはできない
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