[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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617(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)07:59 ID:8s9PZXQ2(1/20)
>>615
小平こ話その1 >>340
「アメリカの大学院で
口頭試問で何を質問しても
それには答えず
その場の話題と関係のない
教科書の演習問題を勝手に出して
解答をしゃべる
委員全員一致で不合格に決めた」
日本でも、いるいる
スレと関係ない
教科書の演習問題を勝手に出して
解答をしゃべる人がねｗ
数学科で落ちこぼれて35年のおサルさん、あなたのことだよｗ >>2chｽﾚ:math
621(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)09:18 ID:8s9PZXQ2(2/20)
>>587 追加
>複素多様体論講義 - サイエンス社 辻元 2012年
>手元に来た
https://www.saiensu.co.jp/preview/2020-978-4-7819-9970-8/SDB61_sample.pdf
複素多様体論講義 - サイエンス社 辻元 2012年
”広範な基礎を身につけるために”
このPDFの前書きがいいね
コピーできないのが残念だが
前書きだけでも値打ちある
是非ご一度読を
辻元氏の至言（前書きより）
「これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を一つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである
物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない
特に、代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である」
盛りだくさんの内容だが
多角的な視点を提供していると思えば、楽しい
良い本ですね
実際、アマゾンなどでは古書で1万円近くの値が付いているが
電子書籍なら、2598円（下記）
https://www.saiensu.co.jp/search/
キーワード「複素多様体論講義」書誌一覧
複素多様体論講義【電子版】
広範な基礎を身につけるために
SDB Digital Books 61
辻 元(上智大学教授) 著
定価：2,598 円（本体：2,362円＋税）
発行日：2020年3月10日
発行：サイエンス社
622(4): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)10:15 ID:8s9PZXQ2(3/20)
>>621
乗数イデアルの表面をなめただけだが
要するに、特異点を含む場合を、乗数イデアルを使うと処理できるってことかな
そう読めた
複素解析→代数幾何へという流れね
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h15data-R/119450/119450a.pdf
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/cgi-bin/gazo.cgi?no=119450
学位論文要旨
乗数イデアルの局所的性質の研究 高木俊輔 2004
乗数イデアルは最初 Demailly, Nadel, Siu 等の仕事において，複素解析的文脈で登場した．彼らは線束上の特異計量に付随する乗数イデアルの概念を導入し，乗数イデアルを巻き込んだ形の小平型消滅定理を証明した．その後すぐに乗数イデアルは，特異点解消と食い違い因子を用いて，純代数幾何的に再定式化された．原理的には解析的な乗数イデアルの方がより一般的な概念だが，実際にはこれまでに得られた応用のほとんどは本質的に代数幾何的なものであり，代数的な言葉に翻訳できる．さらに代数的な乗数イデアルはそれ自体で様々な応用を生み出し始めた(cf. [2], [1], [3], [8], [9]). 今やこのイデアルは双有理幾何学において重要な道具となりつつあるように思われる．本論文では，乗数イデアルの局所的性質に関する次の4つの内容を扱う．
いつ乗数イデアルの劣加法性は成立するか？
乗数イデアルの劣加法性とは，イデアルの積の乗数イデアルが，各々の乗数イデアルの積に含まれるという性質である．Demailly-Ein-Lazarsfeld [1] は，複素数体C上定義された非特異代数多様体上でこの劣加法性が成り立つことを証明した．彼らの結果は，可換環論及び代数幾何学に優れた応用を持つ．例えば，正則局所環のイデアルの形式冪の増大度に関する問題[3]や，巨大な因子の体積は爆発の上の豊富な因子の自己交点数によって近似できるという藤田の近似定理[5]などがある．しかしながら彼らの証明は，川又-Viehweg の消滅定理と対角線埋め込みが完全交差であるという事実を用いるため，正標数の体上定義されている多様体や特異点を許す多様体上では機能しない．従って，乗数イデアルの劣加法性がどのような多様体上で成立するか，というのは大変興味深い問題である．この問題について，2次元の場合には，反ネフサイクルによる整閉イデアルの特徴づけを用いると，次の結果が得られる．
623(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)10:41 ID:8s9PZXQ2(4/20)
>>622
石井志保子氏 特異点論の問題 Shokurovさん出てくるね
石井志保子さん、猿橋賞の記事を読んだとき、特異点論の研究だとあったね
繋がっているんだね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1731-05.pdf
数理解析研究所講究録
第 1731 巻 2011 年 52-59
特異点論の問題
東京工業大学大学院理工学研究科 石井志保子
特異点は代数、幾何，解析のすべての分野にまたがっており、 その問
題も多様であるが，ここでは代数幾何学における特異点にしぼって紹
介する．多様体はすべて複素数体上定義されているとする．
多様体 $X$ 上の特異点を調べる場合，広中による特異点解消
$f:Yarrow X$
を用いて，$Y$ 上の標準因子 $K_{Y}$ と $X$ 上の “標準因子 $K_{X}$
” のくい違い
(discrepancy) を調べるのが代数幾何学での一般的な立場である．
系 3.13. $X$ を任意の $n$ 次元多様体，$x\in X$ を閉点とすると，
mld$(x;X, \partial ac_{X})\leq n$
ここで等号が成立することと (X, X) が非特異であることは同値である．
これは Shokurov の予想の変形版に対する答えである．
予想 3.14 (Shokurov [12]). $X$ を $n$ 次元 $\mathbb{Q}$ -Gorenstein 多様体，$x\in X$
を閉点とする．
mld$(x;X, O_{X})\leq n$
ここで等号が成立することと (X, X) が非特異であることは同値である．
$X$ が局所的完全交叉の場合は
mld$(x;X, \partial ac_{X})=$ mld$(x;X, O_{X})$
になるので系 3.13 は Shokurov 予想の答えを与える．上記のように
mld$(x;X, a\partial ac_{X})$
. は良い不変数であることがわかるが，局所完全交叉 でない場合は mld$(x; X, \alpha)$ とこれの関係はどうなっているのだろうか?
12. V.V. Shokurov, Problems about Fano varieties, Birational Geometry of Algebraic Varieties-Open Problems, Katata, (1988) 30-32.
つづく
624(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)10:41 ID:8s9PZXQ2(5/20)
>>623
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%B3%E4%BA%95%E5%BF%97%E4%BF%9D%E5%AD%90
石井 志保子（いしい しほこ、1950年12月25日 - ）は、日本の数学者。専門は代数幾何学、特に特異点論[1]。学位は、理学博士（東京都立大学・1984年）（学位論文「On moduli scheme of subrings of a local ring」）。東京大学名誉教授、東京工業大学名誉教授[2]。
経歴
富山県高岡市生まれ。1969年、富山県立高岡高等学校卒業[3]。高校在学中に、特殊相対性理論へ興味を持ったという[1]。1973年、東京女子大学文理学部数理学科卒業[4]。1975年、早稲田大学大学院理工学研究科数学専攻修士課程修了[2][5]。1982年、東京都立大学大学院理学研究科数学専攻博士課程単位取得満期退学[5]。1984年、「On moduli scheme of subrings of a local ring」で東京都立大学より理学博士の学位を取得[6]。
1984年から日本学術振興会奨励研究員[5]、1988年から九州大学助手[5]、1989年から東京工業大学助手[5]、1990年から同大学理学部助教授、1998年から同大学大学院理工学研究科教授、2011年から東京大学大学院数理科学研究科教授[5]、2016年から東京女子大学特任教授[7]、2018年から清華大学兼職教授[2]。2021年現在、東京大学名誉教授・東京工業大学名誉教授。
受賞歴
1995年 - 猿橋賞[1]
1996年 - 高岡市民文化賞[8]
2011年 - 日本数学会代数学賞[1]
2021年 - 日本学士院賞・恩賜賞[9]
(引用終り)
以上
626(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)11:32 ID:8s9PZXQ2(6/20)
>>622 関連
https://www.iwanami.co.jp/book/b258667.html
岩波 川又雄二郎『高次元代数多様体論』2014/07/25 >>588
https://www.iwanami.co.jp/files/tachiyomi/pdfs/0075980.pdf
試し読み
あらすじ
ビルカー（Birkar），カシーニ（Cascini），ヘーコン（Hacon），マッカーナン（McKernan）
極小モデル・プログラム（minimal model program = MMP）
MMP では，双有理モデルを次々と取り替えていく．その過程で，特異点を
持った代数多様体が必然的に出てくる．ただし，特異点は特殊な正規特異点に
限られる．MMP で現れる特異点は，それ自体としても興味深い研究対象をな
す．高次元代数幾何学の発展によって，緩やかな特異点を許した代数多様体を
考えることが普通になった．
極小モデル理論における証明は，次元やピカール数などの整数値不変量をう
まく使った数学的帰納法を使う．これがうまく機能するためには，考える対象
のカテゴリーを広くとることが必要になる．これが，ログ版（log version）と相
対版（relative version）への拡張である．
ログ版においては，単独の代数多様体 X の代わりに，X とその上の R-因
子 B の組 (X, B) を考える．歴史的な経緯から，これをログ組（log pair）と呼
び，B を境界因子（boundary divisor）と呼ぶ．ここで，R-因子（R-divisor）B
= bjBj は，余次元 1 の部分多様体 Bj たちの実数 bj を係数とする形式的有
限一次結合である．bj たちが有理数の場合には，Q-因子（Q-divisor）と呼ぶ．
標準因子 KX の代わりに，対数的標準因子（log canonical divisor）KX + B が
主役になる．
つづく
627(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)11:33 ID:8s9PZXQ2(7/20)
>>626
つづき
組 (X, B) には緩い特異点のみを持つという条件を課す．この本では，主
に「KLT 条件」と「DLT 条件」を考える．たとえば，X が滑らかで，B の
台 Bj が「正規交差因子」である場合には，これらの条件は，それぞれ不
等式 0 < bj < 1，0 < bj <= 1 に対応する．
第 1 章では，この本で使用する言葉を定義することが目標である．多様体
に境界と呼ばれる因子を付け加えて組として捉える，というのが基本的な考
え方である．この「ログ化」の考え方によって，数々の新しい論法が可能にな
る．組には限られた緩い特異点を許すことになる．従来の代数幾何学では，特
異点のない多様体が考察の中心であったが，組の特異点を考えることには必然
性があり，極小モデル理論の重要な一角をなす．また，この本における主要な
手段を提供することになる，標数 0 に特有の二つの大定理（広中の特異点解消
定理と小平の消滅定理）を解説する．特に消滅定理は，標数 0 では成立しない
ことが知られているので，この本の内容は基本的に標数 0 に限った結果とな
っている．
第 2 章では，極小モデル理論の大枠を解説する．
乗数層の理論を使った強力な延長定理についても述べる．
（3）この本では，すべての主張をログ版かつ相対版で記述することになる．
これが煩わしいと思われる場合には，境界因子 B を 0 とおき，S が一点
Spec k の場合に書き直しても，連接層の直像層 f?F が大域切断の線形空間
H0(X, F) に変化したりするが，証明のポイントは少しも変わることはない．
ただし，MMP の証明は帰納的なので，ログ版かつ相対版による記述は不可
欠である．また，一般型ではない代数多様体を扱う場合には，ログではない普
通の多様体から出発しても，代数的ファイバー空間の構造を通して自然にログ
組が現れてくる．
つづく
628(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)11:33 ID:8s9PZXQ2(8/20)
>>627
つづき
目次
2. 11 乗数イデアル層 193
2. 11（a） 乗数イデアル層 193
2. 11（b） 随伴イデアル層 198
（本の中の記述P193で、随伴イデアル層＝乗数イデアル層のログ版 とあるね。なるほど）
P196より
参考として、複素解析的な乗数イデアル層を定義する
局所的にはL1関数φとC∞-級のエルミート計量h0
無限大の値も許す特異エルミート計量 h=h0*e^-φ
乗数イデアル層 I=I(L,h)
Γ(U,I)={p∈Γ(U,Οx)|pe^-φは局所的にL2}
で定義する。hは特異性を持っているので、すべての正則関数がL2可積分であるとは限らない
「乗数」という名前は定義から明らかであろう
Iは複素解析的な連接イデアル層になることが証明される
(引用終り)
えーと
「乗数」という名前は定義から明らか
↓
無限大の値も許す特異エルミート計量 h=h0*e^-φ
を言っているのでしょね
なるほどね
629(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)11:43 ID:8s9PZXQ2(9/20)
>>628
ようやく
大きな流れが見えた
（細かいところが理解できるかは別として ；ｐ）
631(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)12:33 ID:8s9PZXQ2(10/20)
>>625
おサルさん
WBC、日本がメキシコに逆転勝ちで、決勝戦へ
だって
アンチ日本のおサルさん、残念でした
https://yupon-juken.com/?p=551
京都大学へ夏の模試E判定から現役逆転合格した話 ゆうぽん
WBCの「クラシック」ってどういう意味？【ワールド・ベースボール・クラシック】
英語の”Classic”の意味をweblioで調べてみると、次のようなものが出てきます。
ちなみに、単語の順番からも分かる通り、ここでのクラシックは形容詞ではなく名詞の方になります。
こうやって見てみると、おそらく「伝統的（に有名な）行事」あたりの意味になるでしょうね。
そこに「一流の作品」という意味合いも掛けているんでしょうね。
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20230321/k10014014771000.html
WBC日本 メキシコ戦【速報中】村上の逆転サヨナラ打で決勝進出
2023年3月21日 12時28分
632(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)15:49 ID:8s9PZXQ2(11/20)
>>630
(参考)
2chｽﾚ:math
日本の数学者の実力とデータベース３
226 ：１３２人目の素数さん：2011/12/25(日) 00:47:56.15
>>219
外国の追っかけをやっていたのでは、新しい分野を
切り開くとか、概念を創出するとか、ってのは難しい
でしょうね。ある程度は追っかけないと、情報が掴めないけど。
だから、ガラパゴスに閉じこもって、そこで世界にないものを
作り出すってのは、数学では間違いではない。
でも、それが重要なものかどうかは、誰にもわからない。
話でしかきいたことがないが、先年亡くなった田中昇氏の
微分幾何の理論ってオリジナルだと思うが、世界で今どれほど
評価されているのか、あるいは100年後に評価される可能性は
あるのか。パンルベもガラパゴスだったが、野海がICMで
招待講演する程度には世界で評価はされてはいる
633(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)15:55 ID:8s9PZXQ2(12/20)
>>632
田中 昇さん、寡聞にして初耳です
下記2017の英文著書は、没後か
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/creator/2650056.html
田中 昇 (1930-2011)
本の一覧
タイトル 著作者等 出版元 刊行年月
Geometric theory of systems of ordinary differential equations
[by] Noboru Tanaka ; K. Kiyohara, T. Morimoro, K. Yamaguchi (eds.)
Department of Mathematics, Hokkaido University 2017
常微分方程式系の幾何学的理論 北海道大学理学部 1989.3
幾何学と微分方程式 北海道大学理学部 1985.2
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%97%E8%B3%80%E6%B5%A9%E4%BA%8C
志賀 浩二（しが こうじ、1930年（昭和5年）10月8日 - ）
著書
『変形の理論』伊勢幹夫・中野茂男・村上信吾・松島与三・田中昇・森本明彦[共著]、数学振興会〈セミナー報告 第8集〉、1961年。
641(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:42 ID:8s9PZXQ2(13/20)
>>622
>乗数イデアルは最初 Demailly, Nadel, Siu 等の仕事において，複素解析的文脈で登場した．
これ
”Jean-Pierre Demailly (25 September 1957 ? 17 March 2022)”
か、まだ若かったのに。コロナかも
メモ貼る
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Demailly
Demailly is a French surname. Notable people with the surname include:
Jean-Pierre Demailly (1957?2022), French mathematician
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Demailly
Jean-Pierre Demailly (25 September 1957 ? 17 March 2022) was a French mathematician who worked in complex geometry.
Multiplier ideals
For a singular metric on a line bundle, Nadel, Demailly, and Yum-Tong Siu developed the concept of the multiplier ideal, which describes where the metric is most singular. There is an analog of the Kodaira vanishing theorem for such a metric, on compact or noncompact complex manifolds.[7] This led to the first effective criteria for a line bundle on a complex projective variety X of any dimension n to be very ample, that is, to have enough global sections to give an embedding of X into projective space. For example, Demailly showed in 1993 that 2K_{X}+12n^{n}L is very ample for any ample line bundle L, where addition denotes the tensor product of line bundles.
The method has inspired later improvements in the direction of the Fujita conjecture.[8]
Kobayashi hyperbolicity
https://en.wikipedia.org/wiki/Kobayashi_metric
つづく
642(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:43 ID:8s9PZXQ2(14/20)
>>641
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal
Multiplier ideal
In commutative algebra, the multiplier ideal associated to a sheaf of ideals over a complex variety and a real number c consists (locally) of the functions h such that
略
is locally integrable, where the fi are a finite set of local generators of the ideal. Multiplier ideals were independently introduced by Nadel (1989) (who worked with sheaves over complex manifolds rather than ideals) and Lipman (1993), who called them adjoint ideals.
Multiplier ideals are discussed in the survey articles Blickle & Lazarsfeld (2004), Siu (2005), and Lazarsfeld (2009).
Algebraic geometry
In algebraic geometry, the multiplier ideal of an effective Q -divisor measures singularities coming from the fractional parts of D. Multiplier ideals are often applied in tandem with vanishing theorems such as the Kodaira vanishing theorem and the Kawamata?Viehweg vanishing theorem.
It was introduced by Shoshichi Kobayashi in 1967. Kobayashi hyperbolic manifolds are an important class of complex manifolds, defined by the property that the Kobayashi pseudometric is a metric.
https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_singularity
Canonical singularity
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9
標準特異点
つづく
643(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:43 ID:8s9PZXQ2(15/20)
>>642
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_algebra
Commutative algebra
This article is about a branch of algebra. For algebras that are commutative, see Commutative algebra (structure).
Commutative algebra, first known as ideal theory, is the branch of algebra that studies commutative rings, their ideals, and modules over such rings. Both algebraic geometry and algebraic number theory build on commutative algebra. Prominent examples of commutative rings include polynomial rings; rings of algebraic integers, including the ordinary integers Z ; and p-adic integers.
Commutative algebra is the main technical tool in the local study of schemes.
The study of rings that are not necessarily commutative is known as noncommutative algebra; it includes ring theory, representation theory, and the theory of Banach algebras.
Overview
Commutative algebra is essentially the study of the rings occurring in algebraic number theory and algebraic geometry.
In algebraic number theory, the rings of algebraic integers are Dedekind rings, which constitute therefore an important class of commutative rings.
Connections with algebraic geometry
Commutative algebra (in the form of polynomial rings and their quotients, used in the definition of algebraic varieties) has always been a part of algebraic geometry. However, in the late 1950s, algebraic varieties were subsumed into Alexander Grothendieck's concept of a scheme. Their local objects are affine schemes or prime spectra, which are locally ringed spaces, which form a category that is antiequivalent (dual) to the category of commutative unital rings, extending the duality between the category of affine algebraic varieties over a field k, and the category of finitely generated reduced k-algebras.
つづく
644(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:44 ID:8s9PZXQ2(16/20)
>>643
つづき
The gluing is along the Zariski topology; one can glue within the category of locally ringed spaces, but also, using the Yoneda embedding, within the more abstract category of presheaves of sets over the category of affine schemes.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0%E8%AB%96
可換環論（英語：commutative algebra、commutative ring theory）は、その乗法が可換であるような環（これを可換環という）に関する理論の体系のこと、およびその研究を行う数学の一分野のことである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_algebra
Associative algebra
This article is about a particular kind of algebra over a commutative ring. For other uses of the term "algebra", see Algebra (disambiguation).
In mathematics, an associative algebra A is an algebraic structure with compatible operations of addition, multiplication (assumed to be associative), and a scalar multiplication by elements in some field K. The addition and multiplication operations together give A the structure of a ring; the addition and scalar multiplication operations together give A the structure of a vector space over K. In this article we will also use the term K-algebra to mean an associative algebra over the field K. A standard first example of a K-algebra is a ring of square matrices over a field K, with the usual matrix multiplication.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0
結合多元環
(引用終り)
以上
647: １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)17:49 ID:8s9PZXQ2(17/20)
Commutative algebra>>643に、Associative algebra,結合多元環>>644
か
随分新しい数学用語が増えていますね
649(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)20:54 ID:8s9PZXQ2(18/20)
>>628
(引用開始)
P196より
参考として、複素解析的な乗数イデアル層を定義する
局所的にはL1関数φとC∞-級のエルミート計量h0
無限大の値も許す特異エルミート計量 h=h0*e^-φ
乗数イデアル層 I=I(L,h)
Γ(U,I)={p∈Γ(U,Οx)|pe^-φは局所的にL2}
で定義する。hは特異性を持っているので、すべての正則関数がL2可積分であるとは限らない
「乗数」という名前は定義から明らかであろう
Iは複素解析的な連接イデアル層になることが証明される
(引用終り)
戻るけど
これ、辻の 複素多様体論講義 https://www.saiensu.co.jp/search/
のP141 乗数イデアル層と同じ定義だ
乗数の意味は、上記の定義がよくわかる
しかし、下記のen.wikipediaの定義とは、ちょっと違う
これは要注意かも
イデアルの意味は、下記の”where the fi are a finite set of local generators of the ideal”の方が分かるかな
（下記が正しいとしてだが、wikipediaは鵜呑みにすると危険ですｗ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal
Multiplier ideal
a real number c consists (locally) of the functions h such that
|h|^{2}/Σ |f_{i}^{2}|^{c}
is locally integrable, where the fi are a finite set of local generators of the ideal.
650(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)20:59 ID:8s9PZXQ2(19/20)
>>648
ありがとう
まあ、何事も
習うより慣れろ
ということもある
要するに
ある数学を、分かるようになって使う
一方それよりは
多少分からなくても、使って理解を深めるやり方もあるってことだろうと思うよ
651(1): １３２人目の素数さん [] 2023/03/21(火)21:04 ID:8s9PZXQ2(20/20)
>>650
付言すれば、ここにコピー貼付けする意義は
人間ディープラーニング
猫をきちんと定義して、猫の顔を理解してから、猫の写真を見分けるやり方もあるだろうが
猫のきちんとした定義はともかくも、猫の写真を数多く見て、現物で学ぶやり方もあるだろう
人間的には、両方併用が良いと思うよ
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