[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ2 (1002ﾚｽ)
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118(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水)10:31 ID:5EhJK9sz(1/5)
>>111
>>x^p-2=0 のガロア群は？
>位数p(p-1)の群だけど。
>しかし、だからと言って
>>ζp^x→ζp^(ax+b)
>と作用してるわけではありませんから～、残念。
横から失礼
ガロア初心者には分かりづらいだろうから（私も初心者ですが）
（作用は、おいといて（多分そのうちｗ））
下記の雪江明彦 可解性について の”1 のべき根のことをどう考えるか”
関連事項です。もっと言えば、クンマー拡大、クンマー理論関連だね
ここ、私も昔はよく分かっていなかった
大体は、どのガロア理論のテキストでも
”必要な1のべき根は基礎体に含まれる”とさらっと書いて流している
私も、それが当たり前で空気みたいに思っていた（1のべき根に対する意識が希薄化していた）
が、1のべき根をしっかり意識しないといけないのが
クンマー拡大、クンマー理論、クロネッカー・ウェーバー、その先に高木類体論という流れになります
x^p-2=0は、1のべき根が含まれている雪江明彦の立場では（これが一般ですが）
ガロア群は、位数pの群（＝巡回群（＝コーシーの定理とガロア第一論文にある））です
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦
代数の教科書について
代数の教科書は日本評論社から出版されました。
・可解性について (2012/10/30更新)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/kakaisei.pdf
可解性について
方程式が可解であることをどう定義するかだが，1 のべき根のことをどう考えるか
ということがしばしば問題になる. 私個人の結論としては 1 のべき根も加えて考える
のがよいということである.
略
この方程式は t, cos((θ0 + 2π)/3), cos((θ0 + 4π)/3) と 3 つの実数解を持つ. す
ると判別式は正で，解の公式を使うと，3 乗根の中の平方根は虚数である. よって，ま
た複素数の 3 乗根をとることになり，どうどうめぐりになる. だから 1 のべき根は 1
のべき根としてそのままにしておくのがよいと思う.
どちらにせよ，5 次以上の方程式は 1 のべき根を加えてもべき根で表せないので，
非可解性に問題はないのである.
119: １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水)10:33 ID:5EhJK9sz(2/5)
>>118 追加
（余談：雪江 明彦の講義 Youtube がヒットしたので貼る）
https://ocwcentral.com/subjects/01GB4X63GYRQWWKSMBDEJR1QJH
OCW Central
Youtubeあり
代数学Ⅱ
第1回（2限）「群・環の復習」 | 雪江 明彦
自動書き起こし（かなりいい加減みたい 大数学→代数学）
00:08
この授業は、大数学2の授業で、私ですけど、この講義を担当する受験です。
00:26
教科書は一応なしということにします。でも私は大数の教科書を書いたんですけれども、その教科書か、あるいは整数論の教科書も書いて、その第1巻にも大数のことについて書いて、
講義一覧16(抜粋)
1. 第1回（2限）「群・環の復習」
雪江 明彦（理学研究科 教授） 2014-10-07 日本語 52m8s
2. 第1回（3限）「体の拡大と拡大次数」
雪江 明彦（理学研究科 教授） 2014-10-07 日本語 1h30m55s
3. 第2回
雪江 明彦（理学研究科 教授） 2014-10-14 日本語 1h26m29s
4. 第3回 2限
雪江 明彦（理学研究科 教授） 2014-10-21 日本語 1h21m19s
以下略
125(2): １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水)12:00 ID:5EhJK9sz(3/5)
>>120
>>x^p-2=0は、1のべき根が含まれている雪江明彦の立場では（これが一般ですが）
>>ガロア群は、位数pの群（＝巡回群（＝コーシーの定理とガロア第一論文にある））です
>それは基礎体がQ(ζp)の場合であって
>基礎体がQなら違うけど
>もしかして全然分かってなかった？
おサルさん、頑張るねｗ >>2chｽﾚ:math
１）仰る通り、というか、雪江 >>118の通り
ガロア理論で簡単に基礎体をQとして、
二つの立場 a)必要な1のべき根を含める b)含めない
がある
２）そして、素数p次の既約な代数方程式が、べき根で解けるとき
そのガロア群は、位数p(p-1)のフロベニウス群（日本のテキストでは線型群と言われる場合が多い。メタ巡回群とも）
（ガロア第一論文の最終定理）
とするのは、上記a)の場合です
以上
131(3): １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水)14:44 ID:5EhJK9sz(4/5)
>>126
> 基礎体がQだと言い切った瞬間、b)なんだが
> だって1のべき乗根は1以外Qじゃないだろ
> そんな初歩も知らんで間違った嘘言ってんのか
> そら大学１年で落ちこぼれるわけだ
速攻で、ツッコミ入ったね>>129 ｗ
まあ、後は、例の次期日銀総裁植田氏と東大数学科でゼミを一緒したという
数学科出身生>>109-110へ戻す
余りにも おサルのレベルが低いと >>2chｽﾚ:math
見ている方が面白くないのでねｗ
健闘を祈る！
136: １３２人目の素数さん [] 2023/03/08(水)16:30 ID:5EhJK9sz(5/5)
>>133
下記正しいかどうか知らずだが
読んで、次の戦いにそなえよ！！ｗ
https://ikumi.que.jp/blog/archives/999
五次元世界の冒険
新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
作成者: 井汲 景太 2021年1月7日
以前の、可約な方程式の解を実際にべき根で求める手順で、ガロア理論の「中間体と部分群の１体１対応」を利用する所にはまだ遠回りしている箇所があった。そこでは、群の第二準同型定理なんていうものを利用していたが、ここはもっとはるかに簡単にカタがつくことだった。ガロア理論をちゃんと血肉としている人から見れば当たり前のことなのに、それにまったく気づいていないというお恥ずかしい話だった。
使うのは、これまでもしばしば登場してきた、ガロア理論の次の定理だ。
「新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6」への7件の返信
サイトウの発言:
2022年6月10日
はじめまして。ガロア理論を勉強する中で参考にさせていただいております。大変勉強になります。ありがとうございます。
１のｎ乗根の扱いに大きく関係しているのかも知れません。と言うことで、恥ずかしながら、いまだにこの最後の詰めのところが釈然としません。
上手く表現出来ずたいへん申し訳ありませんが、可能であればご助言などご教示いただけますとありがたく思います。よろしくお願いいたします。すみません。
サイトウの発言:
2022年6月12日
可解群であれば代数的に解けるとはいうものの、実際には１のｎ乗根が必要となり、事前に用意しておく必要があると言う認識で良いでしょうか？
井汲 景太の発言:
2022年6月12日
＞ 実際には１のｎ乗根が必要となり、事前に用意しておく必要があると言う認識で良いでしょうか？
うーんと、「事前に用意しておく必要がある」というのがどういうことなのかよくわかりません。前回書いた通り、1の原始
乗根はすべてべき根で表せるので、1のべき根の添加は、その気になればすべて（多段の）べき根添加で代替できますよ。
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