純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (252ﾚｽ)
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245(3): １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 19:35:07.33 ID:BAWOX92w(1) AAS
整数の体系Aの中では正しいとも正しくないとも決定不能なある命題があったとして、
その命題は元の整数の体系を含み実数も含むある体系Bの中では証明が出来るとする。
そのとき元の整数の体系を含んでいる別の体系Cの中では決して反証されないのだろうか？
247: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 20:53:16.78 ID:TYdOEijR(5/5) AAS
>>245
>整数の体系Aの中では正しいとも正しくないとも決定不能なある命題があったとして、
>その命題は元の整数の体系を含み実数も含むある体系Bの中では証明が出来るとする。
>そのとき元の整数の体系を含んでいる別の体系Cの中では決して反証されないのだろうか？
多分、それに対する回答に近い例が
下記 藤田 博司先生 超限順序数と連続体問題 2021 に記述あるよ
因みに、藤田 博司先生のPDFは 結構いい。私は結構おせわになって居ます （＾＾
(参考)
https://researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations
藤田 博司
フジタ ヒロシ (Hiroshi Fujita)
https://researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations/36324358
https://researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations/36324358/attachment_file.pdf
講演・口頭発表等
招待有り 2021年3月15日
超限順序数と連続体問題
日本数学会2021年度年会 藤田博司
249: 数学科卒 [] 2025/08/29(金) 07:38:20.06 ID:FTQwjfKe(1) AAS
>>245
> 整数の体系Aの中では正しいとも正しくないとも決定不能なある命題があったとして、
ゲーデルの不完全性定理によれば、Aが帰納的公理化可能であれば、決定不能な命題Gが存在します
> その命題は元の整数の体系を含み実数も含むある体系Bの中では証明が出来るとする。
上記の命題Gは、Gを公理としてAに追加した体系では、当然証明できます 公理ですから
> そのとき元の整数の体系を含んでいる別の体系Cの中では決して反証されないのだろうか？
上記の命題Gの否定命題¬Gを公理としてAに追加した体系では、当然反証されます
そもそもPがAで決定不能とは、Aの上では、Pからも¬Pからも矛盾が導けないということです
これまたゲーデルが証明した述語論理の完全性定理では、
体系Aのいかなるモデルでも真である命題はかならず証明できます
逆に、証明も反証もできない命題Pというのは、
Aのあるモデルでは真であり、別のあるモデルでは偽ということですから
>>248
「多分」も「に近い」も不要
述語論理の完全性定理を理解していれば分かります
大学３年レベルでしょう
東大の数学科では論理学は教えないそうですが
250: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 08:28:45.65 ID:GHf0Hyq9(1) AAS
>>245
そんなことは言えなくね？
というかその問い意味ある？ あるなら意味教えて
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