純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (253ﾚｽ)
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231(1): １３２人目の素数さん [] 2025/08/24(日) 09:49:30.75 ID:+A9mxT/6(3/4) AAS
>>223
(引用開始)
「無限集合の存在を公理に持たない体系Ｓ」を考えて、
その外側でＳを自然に内包する「無限集合の存在を公理に持つ体系Ｓ'」
を考える。
そうして体系Ｓの中では証明を導くことのできない「体系Ｓ内部での命題」を、
体系Ｓ’の中であれば無限集合の存在を利用して証明ができるとするとき、
果たしてそれは「Ｓ内部の命題」に対しての証明になっているといえるの
だろうか？
(引用終り)
それは、実に数学的かつ哲学的な意味で、面白い問いですね
・最近 感心したのが 下記「フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？」池上大祐 数学セミナー 2025年3月号
要するに、下記「ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みた」
で、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））が、グロタンディークの数学で
ZFCの外（グロタンディーク宇宙を使用）らしい
物語風にいえば、一旦宇宙空間に出て そこを経由して 目的地に辿り着いたのです
・さらに振り返ると、n = 3：オイラーが、”複素数を用いる”アイデアを出し
クンマーは、”複素数を用いる”＋理想数（現代数学のイデアル）を使った
・要するに、フェルマーの最終定理は整数の話だから、整数だけで証明できないの？
どっこい、整数の中にとどまると、狭いし見通し悪い。だから、話を 整数の外に広げるのだ
それが、オイラーであり クンマーの理想数であり、ワイルズさんの代数幾何学＝グロタンディーク宇宙
かように、数学史的視点でみれば、数学の世界を広げて より高い立脚点から 問題にアプローチしてゆく
そういう流れがあります
・戻ると、「体系Ｓ内部での命題」についても もう少し広い 高い立脚点から 解決を考える
解決後、体系Ｓ内部だけで完結でないか？ それは後から考えることも可能でしょう
・なお、”無限”について これを導入することは、古代ギリシャからあったと思うが
顕著な例は 射影幾何の無限遠点や、リーマン球面の無限点の導入。これで、議論の見通しがスッキリするのです
(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/9438.html
数学セミナー 2025年3月号
集合論の雑学――無限についてのおはなし
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
……池上大祐 60
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
個別研究の時代
n = 3：オイラー
1770年に刊行した著書『代数学』（Vollständige Anleitung zur Algebra）ではその証明とは異なり（複素数を用いる）エレガントながら不完全な証明を公開した
クンマーの理想数
（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）
近代的アプローチへ
モジュラー予想（谷山-志村予想）
最終的解決
ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みた
237: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/26(火) 08:11:54.11 ID:m4zUCoXw(1/2) AAS
>>223
>「無限集合の存在を公理に持たない体系Ｓ」を考えて、
>その外側でＳを自然に内包する
>「無限集合の存在を公理に持つ体系Ｓ'」
>を考える。
>そうして体系Ｓの中では証明を導くことのできない
>「体系Ｓ内部での命題」を
>体系Ｓ’の中であれば無限集合の存在を利用して証明ができるとするとき、
>果たしてそれは「Ｓ内部の命題」に対しての証明になっている
>といえるのだろうか？
いえない
Ｓを自然に内包する
「無限集合の存在を公理に持つS’とは別の体系Ｓ''」
を考える。
そうして体系Ｓの中では証明を導くことのできない
「体系Ｓ’内部では否定される命題」を
体系Ｓ’’の中で証明ができるとする
もし、それも「Ｓ内部の命題」に対しての証明になっている
とするなら、互いに相反する命題の証明を有することになり
不都合である
上記の現象が存在することはすでに１９６０年代に
ポール・コーエンが強制法によって示している
>>231
>それは、実に数学的かつ哲学的な意味で、面白い問いですね
全然哲学的でない純然たる数学として完全に否定されている
かつては面白かっただろうが、今や常識のつまらん知識
ID:+A9mxT/6が高卒レベルの無知だから知らんだけ
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