純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (253ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

171(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 14:33:52.34 ID:WsIwlYym(1/4) AAS
ホイヨ
下記 ++C++; // 未確認飛行 C さん面白い
自然数の定義 ωa ＝ ∩a^ だってね
なんか、タネ本があるのかな？　（＾＾

(参考)
google検索：ZFC 集合論で、空集合から自然数を構築するに
＜検索結果＞
https://ufcpp.net/study/math/set/natural/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 自然数
目次
概要
自然数
後継ぎ
無限集合
自然数の定義
Peano の公理
自然数の間の関係・演算
自然数の順序
自然数の和
自然数の積
冪（べき）
代数系としての自然数
いろいろな集合の元の個数

概要
自然数全体の集合は、最小の無限集合として定義されます。集合論では、0 も自然数に含まれるものとします。また、自然数全体の集合をωを使って表します。

自然数
後継ぎ
「対」で説明しましたが、空集合 φ とそのシングルトン {φ} は別の集合になります。さらに、φ と {φ} を使って対 {φ, {φ}} を作ると、 φ とも {φ} とも異なる集合が出来ます。
この要領で、集合 x に対して、
x＋＝ x ∪ {x}
という集合を作れば、略

無限集合
まず最初の問題、「自然数全体を集めたものは集合になるかどうか」ですが、これは「無限集合の公理」によって解決します。
∃a[φ∈a ∧ ∀x(x∈a ⇒ x＋∈a)]
この公理により、後継ぎを使って無限に新しい元を作った物が集合になることが保証されます。「無限」というのがどういうことなのか、ここでは詳しく述べませんが、直感的にこれが無限に多くの元を含むことは分かると思います。
ここでは、この公理を満たす集合 a を無限集合と呼ぶことにします。（単に「元の数が無限となる（自然数全体と同じか、より大きい濃度を持つ）集合」も無限集合と呼びます。これと区別するために、無限公理を満たすような集合のことを無限系譜と言って区別している教科書もあります。）
略

自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

Peano の公理
略す

つづく

172(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 14:34:18.21 ID:WsIwlYym(2/4) AAS
つづき

https://ufcpp.net/study/math/set/axiom/
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
集合の公理系
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 集合の公理系
目次
公理系
ZFC公理系

https://ufcpp.net/study/math/set/set
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
集合
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 集合
目次
概要
集合とは
元
等しい集合
部分集合
空集合
集合に対する操作
対
合併
共通部分
その他の操作
冪集合

概要
「ZFC公理系」を満たす数学的思考の対象を集合(set)といいます。自然数や実数などの集合も、ZFC公理系から出発して構築していくことが出来ます。
ZFC公理系を満たすもの以外にも、数学的思考の対象（object）の集まり(collection)を考えることは出来ますが、集合論ではそのような集まりは議論の対象から外します。これは、何でもかんでも扱おうとして、理論が破綻しないようにするためです。（何でもかんでも扱おうとすると生じてしまう矛盾の例として、ラッセルの背理(Russell's paradox)というものがあります。興味があれば調べてみてください。）

集合とは
「概要」でも述べましたが、集合論ではZFC公理系を満たすような物を集合と呼びます。

集合に対する操作
対
2つの集合 a, b から、これら2つを要素として持つ集合 c ＝ {a, b} を作ることが考えられます。このような操作が出来る（このような集合が存在する）ということを仮定するのが「対の公理」です。
∀a∀b∃c∃x(x∈c ⇔ x＝a∨x＝b)
このようにして得られる集合 {a, b} を対（pair）と呼びます。このとき、a と b の順番は関係ありません。すなわち、{a, b} と {b, a} はどちらも同じものになります。順序が関係ないということを明示するために、対を非順序対（unordered pair）と呼ぶこともあります。
また、a ＝ b の場合、対 {a, a} を単に {a} と書き、a のシングルトン（singleton）と呼びます。 a と {a} は全く別の集合になります。
(引用終り)
以上

173: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 14:45:01.96 ID:WsIwlYym(3/4) AAS
>>169-170
とおりすがりのアホぼん？
ご苦労様ですｗｗ；ｐ）
まさか、おっちゃんではないよね？ｗ

”望月語のトンデモIUT”だと？
望月IUTの形勢逆転が見えないとね　（＾＾
大局観が狂っているよね。君は囲碁を覚えた方がいいね　；ｐ）

”なぜかmath jinを尊敬している”？
なぜか？
彼は、マメだよね情報を集めるのが
そして、早くて広いし、結構正確だしね
だから、そこは尊敬している

『相手にすると時間の無駄』？
きみは ”手が見えてない”ね〜ｗ
　彼サイコパスのおサルさん>>5 は
数学科オチコボレさんで、数学科生では彼より下はいないんだ！ｗｗ
だから、私スレ主に必死で ”マウント”をかけてくるよ

私は、それを振り落として、ゴキブリのように
踏みつけてやるのさｗｗｗｗｗ

177(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/27(日) 17:12:08.61 ID:WsIwlYym(4/4) AAS
>>175
(引用開始)
>まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
>a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
>P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
>そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
>ωa ＝ ∩a^
これは
>N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
とまったく同じであることは分かる？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
”まったく同じ”とは、思わない
結果的に、同じ自然数の集合 N=ωa が示せたとしても
手法が違うよね

つまり
１）”a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}”は、冪集合 P (a) を使っていることが一つの工夫だね
　即ち M(x)無しで冪集合 P (a) が、自然数の集合 Nを含んでいることは言えるからね
　但し、M(x)無しで集合積 ∩a^ とすると、N=ωa よりも集合が小さくなるだろう
　問題は、M(x)をどう定義するか？
　へたをすると、”M(x)が自然数の集合 N を定義する”と言った途端に循環論法だね
　つまり、”M(x)が自然数の集合 N を定義する”のに、それを使って
　N=ωa 主張すると循環しているよね
２）”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は
　だれかが、なにかを勘違いして書いた気がするな

>>176
>内容が無い

似た話を、昔誰かのホームページかブログかで
ノイマンが、すべての無限集合の共通部分つまり無限集合の最小のもの
として、自然数 N=ωa を定義したみたいな書き込みを見た記憶がある
そのときは、へーと関心したのだが・・ｗ　；ｐ）

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.025s