純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (252ﾚｽ)
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249: 数学科卒 [] 2025/08/29(金) 07:38:20.06 ID:FTQwjfKe(1) AAS
>>245
> 整数の体系Aの中では正しいとも正しくないとも決定不能なある命題があったとして、
ゲーデルの不完全性定理によれば、Aが帰納的公理化可能であれば、決定不能な命題Gが存在します
> その命題は元の整数の体系を含み実数も含むある体系Bの中では証明が出来るとする。
上記の命題Gは、Gを公理としてAに追加した体系では、当然証明できます 公理ですから
> そのとき元の整数の体系を含んでいる別の体系Cの中では決して反証されないのだろうか？
上記の命題Gの否定命題¬Gを公理としてAに追加した体系では、当然反証されます
そもそもPがAで決定不能とは、Aの上では、Pからも¬Pからも矛盾が導けないということです
これまたゲーデルが証明した述語論理の完全性定理では、
体系Aのいかなるモデルでも真である命題はかならず証明できます
逆に、証明も反証もできない命題Pというのは、
Aのあるモデルでは真であり、別のあるモデルでは偽ということですから
>>248
「多分」も「に近い」も不要
述語論理の完全性定理を理解していれば分かります
大学３年レベルでしょう
東大の数学科では論理学は教えないそうですが
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