[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 42 (1002ﾚｽ)
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928(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/12/25(水) 06:27:51.52 ID:vcY8XrPJ(2/3) AAS
集合上のさまざまな構造のq-類似が Fq 上の射影空間の構造として得られ、
q = 1 へ特殊化することでもとの構造が F1 上の射影空間の構造として
計算される。
★集合は射影空間である。
有限体 Fq 上の (n − 1)-次元射影空間 P(Fqn) = Pqn−1 の元の個数は、
q-整数[n]_q:=(q^{n}-1)/(q-1)=1+q+q^2+…+q^(n-1)
で与えられる[。
q = 1 とすれば [n]q = n となる。
この q-整数の q-冪和への展開は、射影空間のシューベルト胞（英語版）分解に対応する。
★旗の置換
n 個の元からなる集合上の置換の総数は n! 個であり、
[n]_{q}!:=[1]_q[2]_q…[n]_q[n]
を q-階乗とすれば、Fqn における極大旗の総数は [n]q! である。
実際、集合上の置換はフィルター付き集合と考えることができ、
旗はフィルター付きベクトル空間とかんがえることができる。
たとえば、置換 (0,1,2) は {0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2} なる
フィルター付けに対応する。
★部分集合は部分空間である
二項係数 n!/(m!(n − m)!) は n-元集合の m-元部分集合の総数を与え、
q-二項係数 [n]q!/([m]q![n − m]q!) は Fq 上の n-次元ベクトル空間
における m-次元部分空間の総数を与える。
q-二項係数の q-冪の和への展開は、グラスマン多様体の
シューベルト胞分解に対応する。
「順列・組合せ」しか知らない素人でも興味をもつだろう
さて、私は素人でしょうか？
942: １３２人目の素数さん [sage] 2019/12/25(水) 20:40:24.41 ID:6gdlQlp9(1/2) AAS
>>928
その辺はManinから始まりLorscheidやConnesらが色々調べたからね
しかしManinは凄いわ本当。最近の論文も凄い
マニンやグロモフはフィールズ賞がなくても壮大な数学者になれる好例だね
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