[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
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74(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:11:59.39 ID:JTc4r8fR(49/55) AAS
>>72
ちょっと考えたので、ついでなので書いておく
問題（>>56より）
”U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝
がn^2次元実ベクトル空間であることの証明をそれぞれ教えてください。
Xはn×n複素正方行列、X*はXのエルミート共役です。(Yも同様です)”
回答
ここで、表記の都合で、*を複素共役の意味に使うことにして、エルミート共役をX*ではなくX†で表わす
実ベクトル空間は、定義「係数体 F が実数体 R のとき 実ベクトル空間 (real vector space )」（下記より）
Xは、複素数体によるn×nの正方行列
行列の要素をaijと書いて、正方行列X＝{aij}とする
複素数 aij＝xij+ yij√(-1) ここに xij, yij ∈Rとして
エルミート共役 X†＝{bji}と表わすと
bji＝aji*＝xji- yji√(-1)となる
問題の条件より、X†+X=0 なので
aij＋bji＝xij+ yij√(-1) ＋（xji- yji√(-1)）
これより、xij＋xji＝0かつyij- yji＝0
書き直して、xij＝-xjiかつyij＝ yji
言葉で書くと、
要素 aijの実部は xij＝-xjiで絶対値が等しく符号が逆（いわゆる歪対称）、虚部は yij＝ yji でいわゆる対称 となっている
特に対角成分は、xii＝-xii＝0 なので、aii＝yii√(-1) と純虚数になる
つづく
75(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:12:46.28 ID:JTc4r8fR(50/55) AAS
>>74
つづき
あとは、この行列について、複素数体 C 上のベクトル空間を成さないと一言触れて
実数体R上でスカラー倍と、ベクトル和としての行列の和X+Yが、ベクトル空間の定義を満たすことを証明して
あと次元は
行列単位 Eijを使って
（エルミート行列に倣って）
E_{jj}√(-1) (1 <= j <= n)
E_{{jk}}-E_{{kj}}, √(-1)(E_{{jk}}+E_{{kj}}) (1 <= j < k <= n)
で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n2 - n)/2, (n2 - n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n2 - n)/2 + (n2 - n)/2 = n2 であることがわかる。ただし、√(-1) は虚数単位である。
（終り）
こんな感じだな
あとは、どこまで丁寧に書くか
定期試験とか院試なら、時間との兼ね合いで、採点基準を想定しながら書く感じですかね
（”これを書いておく方が、配点貰える”とか。まあ、そこまで余裕があれば高得点だろうが）
つづく
77: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:16:34.01 ID:JTc4r8fR(52/55) AAS
>>74 タイポ訂正
回答
↓
解答
79(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:30:44.02 ID:JTc4r8fR(54/55) AAS
>>74 補足
１）Herm(n)= ｛Y∈C(n×n)|Y*=Y｝の方は、エルミート行列で、これは常識問題かな？（＾＾
２）U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝は、名前はないかも。（Uは普通ユニタリー行列だが、違うね）
３）どちらも、行列成分に落として、与えられた条件式から成分の条件を出す（これ行列の常套手段）
４）次元は、示したように、単位行列Eijとか使ってベクトル基底を構成して、次元を数えること（常套手段？）
PS
そういえば、余談だが、高校数学で、「添え字にｉを使うな。間違い（計算ミスとか）をする確率が高くなるから」と言われていたことを思い出したよ
（読み手も、ijでは視認性が悪いか）
まあ、キーボードタイプはij使うのが楽なんだけどね
80: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:36:54.64 ID:JTc4r8fR(55/55) AAS
>>74-75
補足
いま見たら、いっぱいタイプミスしとるね（＾＾
（だれかみたいになってきたな）
まあ、いちいち直さないけど、
気になるなら、具体的な箇所について「タイプミスでは？」と、聞いておくれ（＾＾；
以上
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