[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
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631(1): １３２人目の素数さん [] 2018/12/29(土) 19:43:52.33 ID:dAnabccJ(15/23) AAS
>>623-624
バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、
球面に適用する場合には選択公理が必要だが
例えば双曲平面全体に適用するなら別に必要ない
なぜならバナッハ＝タルスキーのパラドックスの肝は
「変換群が、階数２以上の自由群を部分群として持つか」
にあるのであって、双曲変換群の場合、階数２以上の自由群が
部分群として自然な形であらわれるから、選択公理を用いる必要がない
632: １３２人目の素数さん [] 2018/12/29(土) 19:49:18.82 ID:dAnabccJ(16/23) AAS
>>627-628
＞「バナッハ＝タルスキーのパラドックス」が、
＞”選択公理のせい”とよく言われるが、
＞半分当たっていて半分外れ
>>631に書いた通り、別に選択公理のせいではない
３次元以上の回転群に適用する場合、選択公理が必要なだけ
２次元以上の双曲変換群なら、選択公理抜きの分割で
同様のパラドックスが構成できる
まあ、球面と違って双曲空間全体に
有限の測度を割り当てることはしないから
実際には問題はないが
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