[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
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534(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/28(金) 19:58:55.17 ID:Aart/Hgg(3/14) AAS
>>530
>>531
ありがとう
"ガロアの逆問題"(下記)は、過去ログにも少しあるが、改めて貼っておくよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois theory
(抜粋)
Inverse Galois problem
On the other hand, it is an open problem whether every finite group is the Galois group of a field extension of the field Q of the rational numbers.
Igor Shafarevich proved that every solvable finite group is the Galois group of some extension of Q. Various people have solved the inverse Galois problem for selected non-Abelian simple groups.
Existence of solutions has been shown for all but possibly one (Mathieu group M23) of the 26 sporadic simple groups. There is even a polynomial with integral coefficients whose Galois group is the Monster group.
(引用終り)
つづき
535: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/28(金) 19:59:31.53 ID:Aart/Hgg(4/14) AAS
>>534
つづく
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q. This problem, first posed in the early 19th century,[1] is unsolved.
There are some permutation groups for which generic polynomials are known, which define all algebraic extensions of Q having a particular group as Galois group. These groups include all of degree no greater than 5. There also are groups known not to have generic polynomials, such as the cyclic group of order 8.
More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G? One says that G is realizable over K if such a field L exists.
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function
6 Notes
7 References
(引用終り)
以上
562: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/28(金) 22:26:04.84 ID:Aart/Hgg(12/14) AAS
>>534
追加
http://maxima.hatenablog.jp/entry/2018/03/27/223834
2018-03-27 -数学- ガロアの逆問題 Maxima で綴る数学の旅
(抜粋)
ガロア理論の周辺の問題として、「ガロアの逆問題」と呼ばれる問題があります。与えられた有限群をガロア群としてもつ多項式をあれば求めよ、というような問題です。もう少しきちんと書くと以下のようになります。
この問題に対して５次方程式のガロア群（対称群 S5の部分群）について"生成多項式"を具体的に与える論文[1]があります。位数10の２面体群、位数5の巡回群、位数20のフロベニウス群、５次の交代群、５次の対称群などは５次方程式のガロア群となるものです。それぞれの群について具体的な方程式を生成する方法が下記の論文には載っています。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1324-21.pdf
橋本喜一朗、角皆 宏、5 次可移群に対する Q 上 2 助変数生成的多項式の構成、数理解析研究所講究録 1324 巻 2003 年 207-216
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