[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
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372(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/24(月) 23:41:01.94 ID:1uJ+FX2v(13/16) AAS
>>338 補足
「カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている」とあるけど
選択公理も同様で、等価な命題が多数あってね
「整列可能定理」や「比較可能定理」や「右逆写像の存在」や「ベクトル空間における基底の存在」など
これらを認めることは、選択公理を認めることだ
「整列可能定理」や「比較可能定理」や「右逆写像の存在」や「ベクトル空間における基底の存在」や、これみんな認めているんじゃないのかい？（＾＾
おれは、これらを認めるって言っているだけなんだけど？
認めないと、不便でしょ？
ピエロ、選択公理分ってるかい？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
(抜粋)
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。
定義
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。
あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 A に対して写像 f： A → ∪A := ∪ _{A ∈ A} A であって任意の x ∈ A に対し f(x) ∈ x なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る（ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。
選択公理と等価な命題
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
つづく
373: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/24(月) 23:41:45.36 ID:1uJ+FX2v(14/16) AAS
>>372
つづき
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
テューキーの補題
有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
直積定理
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
右逆写像の存在
全射は右逆写像を有する。
ケーニッヒ（Julius Konig）の定理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。
チコノフの定理
コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
クルルの定理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
(引用終り)
以上
382(1): １３２人目の素数さん [] 2018/12/25(火) 06:08:39.65 ID:LFNNMehR(2/7) AAS
>>372
＞「整列可能定理」・・・
＞おれは、これらを認めるって言っているだけなんだけど？
つまり同値類から代表元がとれることを認めるわけだ
したがって時枝論法を全面的に認めるわけだ
違う、とはいえないぞ
代表元がとれてしまえば決定番号が決まってしまう
１００個の列の決定番号のうち他より大きいものはたかだか１つ
つまり、失敗する場合もたかだか１／１００
残念だったな サイコピエロスレ主
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