[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
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136(7): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 16:11:46.67 ID:Rxviyods(12/16) AAS
>>133
>普通に、このおっちゃんの場合（”log_x|y|”）は、「xを底とする対数関数」になると思う
定義域とかはどうでもよくて、異なるのは正の実数xを底とする対数関数 a＝log_x(y) y＞0 の逆関数が
一価の関数でその逆関数 a＝y^x が定まることに対して、正の実数xを底とする
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の逆関数は二価の多価関数になって、a＝±y^x になる。
そういったように、変わるのは、任意の正の実数yに対して log_x (y)∈R が定義されることと、
任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること(正の実数を弟とする対数関数の定義域)ではなく、
その定義域を変えて議論したときの正の実数xを底とする対数関数 log_x(y) y＞0 と
同じく正の実数xを底とする対数関数 log_x|y| y∈R＼{0} の各性質の方が変わって来る。
スレ主はそういうことに全く気付かず、例の命題を証明するにあたってはどうでもいいことばかり指摘している。
137(3): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 16:17:32.56 ID:Rxviyods(13/16) AAS
>>135
>>136の訂正：
(正の実数を弟とする対数関数の定義域) → (正の実数を底とする対数関数の定義域)
あと、採点が云々とかはどうでもよくて、数学は制限時間付きの試験ではない。
138(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 16:25:39.84 ID:Rxviyods(14/16) AAS
>>135
>>137の部分も含めて>>136の再訂正：
任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること(正の実数を弟とする対数関数の定義域)
→ 任意の0とは異なる実数yに対して log_x|y|∈R が定義されること(正の実数を底とする対数関数の定義域)
139(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 16:43:01.86 ID:Rxviyods(15/16) AAS
>>135
>>136の訂正(逆関数について)：
a＝y^x → a＝x^y、
a＝±y^x → a＝±x^y
143: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/18(火) 17:22:19.57 ID:9tXcwzeR(6/9) AAS
>>136-141 （除く>>140）
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとうよ（＾＾
（>>116より）
[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：
log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。
しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。
(引用終わり)
例えば
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
ｙ＝|α|とおくと
log_x (y) は無理数である。
ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である。”
とすれば、
上記証明の部分は、
「log_x (y) ＝p/q から x^{p/q}＝ｙ。故に矛盾が生じる」
で、終わるってこと＊）
（log_x|y|からスタートして、絶対値記号を外すために、両辺を二乗する部分が冗長だよね）
注＊）：
まあ、そんなに|y|に拘りがあるなら（実数で負の代数的数 αまで主張したいなら）ね
証明が、不必要にごたごたするのは趣味じゃないんだ
まあ、ここらは、どこまでがトリビアで、どこまで定理の主張を広げるべきかで、難しい問題もあるみたい
何かの記事で、ある人が投稿した論文を見て、別の人がその定理の系を論文投稿した
その定理の系が、応用として、いろいろ引用されることになった
最初の投稿者は、その系は分かっていたけど、トリビアだから書かなかったとかね
まあ、「分かっていたけど、書かなかった」というのは、後からは言いにくいよね
あと、
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
ｙ＝|α|とおくと
log_x (y) は無理数である。”
は、昔どこかで見たような気がする。（学生時代だったかも）
おっちゃんとは、センスが合わないのは良く分かったよ〜（＾＾
この話は、終わるよ〜（＾＾；
157(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 01:56:17.16 ID:zxabrNLg(2/7) AAS
おっと、>>156の訂正：
>>133について訂正 → 「>>136」について訂正
158(2): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 02:07:44.51 ID:zxabrNLg(3/7) AAS
>>136について再度訂正：
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の「逆対応」は二価の多価関数になって、a＝±y^x になる。
159(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 02:17:03.78 ID:zxabrNLg(4/7) AAS
>>158は取り消して、>>136について再び再訂正：
対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の「逆対応」は二価の多価関数になって、「a＝±x^y」 になる。
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