現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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85: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2018/12/17(月) 07:28:53.69 ID:vPN/J1lJ

>>79 補足
"２）U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝は、名前はないかも。"

ここな
歪エルミート行列な（下記）

X*+X=0
　↓
X*=-X
と視点を換えないといけなかった
おれも鈍いね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%AA%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97
歪エルミート行列
(抜粋)
歪エルミート行列（わいえるみーとぎょうれつ、英語: Skew-Hermitian matrix）あるいは反エルミート行列（はんえるみーとぎょうれつ、英語: Anti-Hermitian matrix）とは、自身のエルミート共役が自身に負号をつけたものに等しいような複素正方行列のことである。つまり、n 次正方行列 A に対し、そのエルミート共役を A* で表すとき、A が歪エルミートならば、以下の条件を満たす。

A^*=-A.
行列 A の成分をあらわに書けば、これは次のようにも表せる。

(A^*)_{ij}=￣ {A_{ji}}}=-A_{ij} (1 <= i,j <= n)
歪エルミート行列と似た定義を持つ行列として、エルミート行列がある。エルミート行列は自身と自身のエルミート共役が等しい。

H^*=H.
歪エルミート行列はエルミート行列と同じく、正規行列の特別な場合であり、?1 をユニタリ行列 U と見なせば、以下の正規行列の定義を満たしている。

A^*=AU.

性質
多くの点で歪エルミート行列はエルミート行列とちょうど反対の性質を持つ。

歪エルミート行列の成分を虚数単位 i で除することによりエルミート行列にできる。すなわち歪エルミート行列 A に対して
A=iH} A=iH
を満たす H はエルミート行列となる。実際、(iH)* = ?iH* なので iH は歪エルミートである。同様に ?iH も歪エルミートである。従って、A/i = ?iA および A/(?i) = iA はエルミートである。
歪エルミート行列 A の対角成分はすべて純虚数である。
(A^*)_{ii}=￣ {A_{ii}}}=-A_{ii} (1 <= i <= n)
従って、そのトレースも純虚数である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/85

94: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/12/17(月) 17:48:08.88 ID:Cv0M5TH4

>>85
「Eman物理」のエルミートの説明
Emanさんの説明は、いつも分かりやすいね（＾＾
http://eman-physics.net/quantum/matrix.html
演算子は行列だ エルミート演算子とは何か。 Eman物理
(抜粋)
エルミート行列の性質
　まずこの行列 H のエルミート共役を取ってやるとどうなるかを見よう。

この行列 H はエルミート共役を取っても、取る前と変わらないことが分かる。
H†= H
　このような性質を持つ行列を「エルミート行列」と呼ぶことにしよう。あるいは自分自身が自身の随伴行列になっていることから「自己随伴行列」と呼ぶこともある。

この関係からすぐに分かると思うが、対称成分は複素共役になっている。1 行 2 列目が
a+bi
だとしたら、2 行 1 列目の成分は
a?bi
になっているわけだ。だとしたら対角成分は必ず実数でなければならない。理屈は分かるかな？逆にそういう行列があればエルミート行列だと思っていい。ただし、この対角成分の実数はユニタリ変換する前の対角行列の実数と同じになっているわけではない。やってみればすぐに分かることだが、頭の中だけで理解しようとするとそういう勘違いも有り得るので注意しておく。
　普通の教科書では「エルミート行列はユニタリ変換をすることで実数の対角行列に変形できる」などと、さも不思議な難しい定理であるかのように説明しているが、もともと実数の対角行列をユニタリ変換したものがエルミート行列なのだから当然のことだ。

エルミート演算子
　物理量を表す演算子が行列に相当するということで、物理量を表すにふさわしい行列がどのような性質を持つかを調べてきた。つまりエルミート行列でなければならないのだった。ならば演算子の方にも何かこれに相当する条件があるはずである。それを「エルミート性」と呼ぼう。

この条件を満たす演算子
H
はエルミート性を持つと言えるのである。そのような演算子を「エルミート演算子」と呼んでいる。ある演算子が物理量を表すためにはエルミート演算子の条件を満たしていなければならないのである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/94

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