[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/

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74: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:11:59.39 ID:JTc4r8fR >>72 ちょっと考えたので、ついでなので書いておく 問題（>>56より） ”U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝ がn^2次元実ベクトル空間であることの証明をそれぞれ教えてください。 Xはn×n複素正方行列、X*はXのエルミート共役です。(Yも同様です)” 回答 ここで、表記の都合で、*を複素共役の意味に使うことにして、エルミート共役をX*ではなくX†で表わす 実ベクトル空間は、定義「係数体 F が実数体 R のとき 実ベクトル空間 (real vector space )」（下記より） Xは、複素数体によるn×nの正方行列 行列の要素をaijと書いて、正方行列X＝{aij}とする 複素数 aij＝xij+ yij√(-1) ここに xij, yij ∈Rとして エルミート共役 X†＝{bji}と表わすと bji＝aji*＝xji- yji√(-1)となる 問題の条件より、X†+X=0 なので aij＋bji＝xij+ yij√(-1) ＋（xji- yji√(-1)） これより、xij＋xji＝0かつyij- yji＝0 書き直して、xij＝-xjiかつyij＝ yji 言葉で書くと、 要素 aijの実部は xij＝-xjiで絶対値が等しく符号が逆（いわゆる歪対称）、虚部は yij＝ yji でいわゆる対称 となっている 特に対角成分は、xii＝-xii＝0 なので、aii＝yii√(-1) と純虚数になる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/74

75: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:12:46.28 ID:JTc4r8fR >>74 つづき あとは、この行列について、複素数体 C 上のベクトル空間を成さないと一言触れて 実数体R上でスカラー倍と、ベクトル和としての行列の和X+Yが、ベクトル空間の定義を満たすことを証明して あと次元は 行列単位 Eijを使って （エルミート行列に倣って） E_{jj}√(-1)　(1 <= j <= n) E_{{jk}}-E_{{kj}}, √(-1)(E_{{jk}}+E_{{kj}})　(1 <= j < k <= n) で与えられ、これらの形の基底ベクトルはそれぞれ n, (n2 - n)/2, (n2 - n)/2 個ずつ存在するから、次元は n + (n2 - n)/2 + (n2 - n)/2 = n2 であることがわかる。ただし、√(-1) は虚数単位である。 （終り） こんな感じだな あとは、どこまで丁寧に書くか 定期試験とか院試なら、時間との兼ね合いで、採点基準を想定しながら書く感じですかね （”これを書いておく方が、配点貰える”とか。まあ、そこまで余裕があれば高得点だろうが） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/75

77: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:16:34.01 ID:JTc4r8fR >>74 タイポ訂正 回答 　↓ 解答 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/77

79: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:30:44.02 ID:JTc4r8fR >>74 補足 １）Herm(n)= ｛Y∈C(n×n)|Y*=Y｝の方は、エルミート行列で、これは常識問題かな？（＾＾ ２）U(n)=｛X∈C^(n×n)|X*+X=0｝は、名前はないかも。（Uは普通ユニタリー行列だが、違うね） ３）どちらも、行列成分に落として、与えられた条件式から成分の条件を出す（これ行列の常套手段） ４）次元は、示したように、単位行列Eijとか使ってベクトル基底を構成して、次元を数えること（常套手段？） PS そういえば、余談だが、高校数学で、「添え字にｉを使うな。間違い（計算ミスとか）をする確率が高くなるから」と言われていたことを思い出したよ （読み手も、ijでは視認性が悪いか） まあ、キーボードタイプはij使うのが楽なんだけどね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/79

80: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 23:36:54.64 ID:JTc4r8fR >>74-75 補足 いま見たら、いっぱいタイプミスしとるね（＾＾ （だれかみたいになってきたな） まあ、いちいち直さないけど、 気になるなら、具体的な箇所について「タイプミスでは？」と、聞いておくれ（＾＾； 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/80

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