現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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40: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2018/12/16(日) 13:41:31.02 ID:JTc4r8fR

>>39

絶対ガロア群は下記な
むずいな（＾＾
グロタンディークのガロア理論ならぬ、ショルツェのパーフェクトイドの絶対ガロア理論か（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
より発展的な定式化

抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。

一般に体 K の有限次分離拡大の「合併」として K の分離閉包 K?sep が考えられる。K?sep の正規部分拡大 L の自己同型で K の元を固定しているもの全体 Gal(L/K) は L に含まれる K の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。Gal(L/K) は各点収束の位相について位相群となり、L の中間体のなす系と、Gal(L/K) の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。

体 K に対しその絶対ガロア群 GK = Gal(K?sep/K) が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 X が与えられたとする。このとき X から K?sep への写像の空間 (Ksep)X に対する GK の作用
(g,f)[x]=f(g^{-1}x)
が考えられる。
この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、X の任意の一点の固定部分群に関する K?sep の不変部分体と同型になる（X の点の取り替えは K?sep の中での共役な部分体の取り替えに対応する）。
X への作用の推移性を外すことは K の有限次分離拡大体の代わりに K 上の有限エタール代数を考えることに対応し、こうして K 上の有限エタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の反変圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/40

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