現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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167: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/19(水) 17:14:55.66 ID:zxabrNLg

>>164
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_(x|y|) は無理数である。
> 　　（注：ここに、log_(x|y|)は、eを底とする自然対数、|y|はyの絶対値、x|y|はxと|y|の積を表すとする）
スレ主が書いた log_(x|y|) を log(x|y|) と好意的に解釈することにする。
まあ、今日出来たところまで書く。

或る正の超越数xと、或る正かつ y≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log(x|y|) が有理数であるとする。
仮定から、xは正の超越数である。また同様に仮定から、yは1とは異なる正の実数である。
従って、|y|＝y から x|y|＝xy であって、xyは正の超越数である。xy≠1 だから、
log(x|y|)＝log(xy) に対して或る既約有理数 (p,q) |p|≧1 q≧1 p,q∈Z が定まって、log(xy)＝p/q、故に
e^{p/q}＝xy から e^p＝(xy)^q、故に e^p＝x^q・y^q を得る。
ところで、仮定からyは代数的数だから、yに対して或る有理数体Q上の最小多項式 f(X) が存在して、f(y)＝0。
deg(f)＝n とする。既約な有理係数多項式 f(X) に対して何れも或る a_1,…,a_n∈Q a_n≠0 が存在して、f(X) は
f(X)＝X^n＋a_1・X^{n-1}…＋a_{n-1}・X＋a_n と表される。従って、f(y)＝y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n。
f(y)＝0 から y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 だから、y^n＝−(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)。
y^q と y^n の各指数について、q≧n だから、y^q＝y^{q-n}・y^n、故に y^q は
y^q＝−y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n) と表される。
従って、e^p＝x^q・y^q から e^p＝−x^q・y^{q-n}・(a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n)。
故に、2つの超越数e、xは有理数体Q上代数的従属である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/167

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