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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/
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162: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/19(水) 11:22:06.30 ID:MIIBJv3l >>156-159 おっちゃん、どうも、スレ主です。 ありがとう >対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0} の「逆対応」は二価の多価関数になって、「a＝±x^y」 になる。 まあ、下記でも見てくれ ”複素指数函数の逆「函数」 逆函数を持つためには、函数は一対一（単射）でなければならないが、複素指数函数は単射でない” ”この問題の解決法として、二通り考えられる” 対数関数 a＝log_x|y| y∈R＼{0}についても、 ”二通り”のうち、最初の方法を使えばいい https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 複素対数函数 (抜粋) 任意の非零複素数 z は無限個の対数を持つ[1]から、そのような表記が紛れのない意味を為すように気を付けねばならない。 極形式を用いて z = re^iθ (r > 0) と書くならば、w = ln r + iθ は z の対数の一つを与えるが、これに 2πi の任意の整数倍を加えたもので z の対数はすべて尽くされる[1]。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Riemann_surface_log.svg/220px-Riemann_surface_log.svg.png (複素対数函数の多価なる虚部を枝が分かるように描いたもの。複素数 z が原点を周れば、対数の虚部が上下する。これにより、原点はこの函数の分岐点となる。) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/162
163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/19(水) 11:23:00.92 ID:MIIBJv3l >>162 つづき 複素指数函数の逆「函数」 逆函数を持つためには、函数は一対一（単射）でなければならないが、複素指数函数は単射でない（実際、任意の w に対して e^(w+2πi) = ew が成り立つことが、w に iθ を加える操作が ew を反時計回りに θ ラジアン回転させることから言える） この問題の解決法として、二通り考えられる: ・一つは、指数函数の定義域をどの二つの数も 2πi の整数倍の差を持たないような領域に制限することである。この方法では、自然に log z の枝（定義域に属する各数の対数を一つずつ切り出して得られる函数）を定義することになる。 これは例えば、逆正弦函数 arcsin x の [?1, 1] 上定義された枝を、正弦函数 sin θ の区間 [?π/2, π/2] への制限の逆函数として定めるのと同様である（上記範囲内の x に対し sin θ = x を満たす実数 θ は無限個存在するが、それでも（いくぶん作為的ながら）[?π/2, π/2] に入るものを考えれば、それは一つしかないのであった）。 ・もう一つは、対数函数をガウス平面上の函数でなく、穴あき (つまり原点を除く) ガウス平面を無限個貼り合わせた被覆空間としてのリーマン面上で定義された函数と見ることによって、対数の不定性を解決することである。 枝をとる方法は、一つの複素数に対して値が評価できる点で優位性がある。 他方、リーマン面上の函数と見る方法は、log z の全ての枝をひとまとめに扱えて、定義に任意性のある選択を含めなくてよいという点において筋が良い。 (引用終わり) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/163
215: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/20(木) 18:30:36.21 ID:ojnAX9Xi >>209 >zを |z|＜1 なる複素数、x正の実数として > log(1+z)＋log(x) という式を扱ってみな。 それ、私が>>162に”複素対数函数”の多価性について、引用しといたろう？ 自分でも多価性を書いておきながら、結局分かってないんかい？ （要は、そこ自分できちんと、つどつど定義しないとダメって話なんだがね、結局は。数学は、定義、定義、定義・・ですよ（＾＾； ） >>210 測度論はきらってないよ ただ、時枝の話は、測度論にいく前に、論じるべき点が沢山あるってことだ ”作用素環の pdf”は、過去にも何度も貼っているよ（＾＾ >時枝記事の確率の部分は、古典的な確率論の話で既に数学的には正当化されているんだが。 全く逆で、時枝記事の解法は、あの確率計算（＝99/100）が間違っているってことですよ それ、全国の大学で数学を教える教員全て（∀）の常識です（>>198ご参照） >211 >それじゃ、おっちゃんもう寝る。 はい また明日ね（＾＾ でも、おれは疲れたから、明日からは軽く流すよ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/215
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