現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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143: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/12/18(火) 17:22:19.57 ID:9tXcwzeR

>>136-141 （除く>>140）
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとうよ（＾＾

（>>116より）
[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：
log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。
しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。
(引用終わり)

例えば
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
　ｙ＝|α|とおくと
log_x (y)  は無理数である。
ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である。”
とすれば、

上記証明の部分は、
「log_x (y) ＝p/q から x^{p/q}＝ｙ。故に矛盾が生じる」
で、終わるってこと＊）
（log_x|y|からスタートして、絶対値記号を外すために、両辺を二乗する部分が冗長だよね）

注＊）：
まあ、そんなに|y|に拘りがあるなら（実数で負の代数的数 αまで主張したいなら）ね
証明が、不必要にごたごたするのは趣味じゃないんだ

まあ、ここらは、どこまでがトリビアで、どこまで定理の主張を広げるべきかで、難しい問題もあるみたい
何かの記事で、ある人が投稿した論文を見て、別の人がその定理の系を論文投稿した
その定理の系が、応用として、いろいろ引用されることになった
最初の投稿者は、その系は分かっていたけど、トリビアだから書かなかったとかね
まあ、「分かっていたけど、書かなかった」というのは、後からは言いにくいよね

あと、
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
　ｙ＝|α|とおくと
log_x (y)  は無理数である。”
は、昔どこかで見たような気がする。（学生時代だったかも）

おっちゃんとは、センスが合わないのは良く分かったよ〜（＾＾
この話は、終わるよ〜（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/143

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