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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768レス)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/
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125: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/18(火) 10:33:52.62 ID:9tXcwzeR >>115-119 おっちゃん、どうも、スレ主です。 ありがとう だが、いつもながら、議論の本筋を外しているね 入試では、答案は戻ってこない!! 採点者は、熱心に汚い手書き答案を読んでくれるが、”採点ミスを誘導せず高得点を狙う書き方”をすべき log_x|y|(おっちゃん) vs ”log_x (y) (ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である)”(私) の違い分かる? そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ(^^ つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ この数学の作法(定義を書く)が身についていない答案は、採点官の心証はマイナスだろうね (特に数学科の院試ではね) 「log_x|y|(おっちゃん)」を、前スレ >>724のID:bB/JzT3mさんが、”xを底とする対数関数”だろうと救ってくれた (落ちこぼれピエロは気づいてなかった(^^; ) だが、入試なら、採点官のそばには、ID:bB/JzT3mさんはいないよ あと、類似だが >仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。 これ最初に、「背理法を使う」と宣言しないと、心証悪いよ 実際、前スレ>>697では ”仮定から x>0 であり、|y|≠0 かつ |y|≠1 だから、log_x|y| は0ではない有理数である”と書いていたでしょ?(^^ (参考:前スレ>>732) (引用開始) [命題]:任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。 (注:ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である) [証明]:背理法を使う log_x (y) が有理数 とする。 log_x (y) = p/q (ここに、p,q は整数) 従って、x^{p/q}=y これは、矛盾である。 (∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから) よって命題は成り立つ。 QED (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/125
127: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 11:05:33.47 ID:Rxviyods >>125 >log_x|y|(おっちゃん) vs ”log_x (y) (ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である)”(私) >の違い分かる? > >そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ(^^ >つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く >いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ 実数yについて |y|=0 となるための必要十分条件はyの値が y=0 になることも、 高校の場合は高1でやるし、大学でも底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y>0 が定義する前にやることも共通している。 実数yについて |y|=0 となるための必要十分条件はyの値が y=0 になることだから、 任意の 正の実数yに対して log_x (y)∈R が定義されることは、 結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されることと何ら変わらず同じなんことだが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/127
128: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 11:09:13.14 ID:Rxviyods >>125 (実数の)絶対値の諸性質が分かっていれば、何も断り書きする必要はない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/128
129: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 11:15:45.76 ID:Rxviyods >>125の(一番下の行の)訂正: 結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること → 結局、任意の0とは異なる実数yに対して log_x|y|∈R が定義されること http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/129
130: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 11:18:46.94 ID:Rxviyods >>125 >>129は取り消して次のように書き直し。 >>127の(一番下の行の)訂正: 結局、任意の0とは異なる log_x|y|∈R が定義されること → 結局、任意の0とは異なる実数yに対して log_x|y|∈R が定義されること http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/130
131: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 12:04:58.72 ID:Rxviyods >>125 一応、実数yについて |y|=0 となるための必要十分条件はyの値が y=0 になることの証明。 (必要性):実数yについて、y<0 とする。絶対値の定義から、|y|=-y。また、-y>0。従って、|y|>0。 しかし、これは仮定に反し矛盾する。背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、実数yは y≧0 を満たす。 従って、絶対値の定義と仮定とから、|y|=y、故に y=0 となる。 (十分性):仮定から y=0 だから、絶対値の定義から、|y|=y、故に |y|=0 を得る。 上のように、内容的には高1ですることのみで示せる。 というか、絶対値の定義から直観的には明らかなことだと思うが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/131
132: 132人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 13:19:45.71 ID:fqcFZOMg >>125 >xを底とする対数関数 数学の言葉の使い方からしてめちゃくちゃ 早く死ね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/132
135: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/18(火) 15:54:03.21 ID:9tXcwzeR >>127-131 おっちゃん、どうも、スレ主です。 ありがとう 下記の命題の数学の本質は ”任意の正の超越数xを底とする対数関数で、その対数関数の変数y(真数yともいう)が代数的数を取るとき、無理数になる” これで、まずx,yがいずれも正のときを論じれば、それで足りると思う もっと補足すれば、”任意の正の超越数xを底とする対数関数”は、実関数の範囲で、その定義域を、正の実数に取るってことが本質で (おっちゃんが>>117に書いてるように、複素関数まで広げると、一価関数でなくなるし) なので”正の超越数xを、対数(実)関数で、代数的数(当然正)を入れると、無理数になる”よと この4つの要素 これで、全て尽くされているでしょ? で、対数関数に入れる数で、負の代数的数を考える意義は薄いでしょ?(^^ あと、気付いてないようだが おいらは「・・、矛盾である。(∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから)」 と、理由付けを書いたんだ これも、答案作成テクニックとして必要と思うよ これ、採点基準にあったりすると、理由付け抜かすと、減点されかねないからね(^^ (どの程度詳しく書くかは、求められているレベル(詳しく書くべきかどうか)と、残り時間との相談だね 時間に余裕があるなら、詳しく書けば良いのだが) (>>125) (再引用開始) [命題]:任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。 (注:ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である) [証明]:背理法を使う log_x (y) が有理数 とする。 log_x (y) = p/q (ここに、p,q は整数) 従って、x^{p/q}=y これは、矛盾である。 (∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから) よって命題は成り立つ。 QED (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/135
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