[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 (768ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/

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117: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 03:28:10.50 ID:Rxviyods 高校でも高1で実数の絶対値を定義してから底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y＞0 が定義されているし、 大学の微分積分でも実数の絶対値を定義してから底を正の実数xとする対数関数 log_x(y) y＞0 が定義されている。 その対数関数 log_x(y) y＞0 の諸性質を導く方法は同じ。 その定義域 (0,+∞) を拡張して R＼{0} にして底を正の実数xとする対数関数 log_x|y| y∈R＼{0} としても、 計算の量は増えるが、絶対値を扱った後に対数を扱う点は、高校でも大学でも結局変わらないので、 その諸性質を導く方法は高校でも大学でも変わらない。 他にも複素変数z |z|＜1 の対数関数(多価関数) log(1＋z) |z|＜1 も扱ったりする。 感じ方は人にもよるが、書き方はlog_x(y) y＞0 に似ている。 そのようなことから、どうせなら、正の実数xを底とする対数関数 log_x(y) y＞0 は、 その定義域 (0,+∞) を拡張して R＼{0} にして log_x|y| y∈R＼{0} としたいい方が工学屋にとってはいいだろう。 式を変形して計算する人にとってはいい定義だと思うぞ。工学屋は何より計算だろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/117

125: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/18(火) 10:33:52.62 ID:9tXcwzeR >>115-119 おっちゃん、どうも、スレ主です。 ありがとう だが、いつもながら、議論の本筋を外しているね 入試では、答案は戻ってこない！！ 採点者は、熱心に汚い手書き答案を読んでくれるが、”採点ミスを誘導せず高得点を狙う書き方”をすべき log_x|y|（おっちゃん） vs ”log_x (y) （ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）”（私） の違い分かる？ そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ（＾＾ つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ この数学の作法（定義を書く）が身についていない答案は、採点官の心証はマイナスだろうね （特に数学科の院試ではね） 「log_x|y|（おっちゃん）」を、前スレ >>724のID:bB/JzT3mさんが、”xを底とする対数関数”だろうと救ってくれた （落ちこぼれピエロは気づいてなかった（＾＾； ） だが、入試なら、採点官のそばには、ID:bB/JzT3mさんはいないよ あと、類似だが >仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。 これ最初に、「背理法を使う」と宣言しないと、心証悪いよ 実際、前スレ>>697では ”仮定から x＞0 であり、|y|≠0 かつ |y|≠1 だから、log_x|y| は0ではない有理数である”と書いていたでしょ？（＾＾ （参考：前スレ>>732） (引用開始) [命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。 　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である） [証明]：背理法を使う 　log_x (y) が有理数 とする。 　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数） 従って、x^{p/q}＝y これは、矛盾である。 （∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから） よって命題は成り立つ。 ＱＥＤ (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/125

135: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/12/18(火) 15:54:03.21 ID:9tXcwzeR >>127-131 おっちゃん、どうも、スレ主です。 ありがとう 下記の命題の数学の本質は ”任意の正の超越数xを底とする対数関数で、その対数関数の変数y(真数yともいう)が代数的数を取るとき、無理数になる” これで、まずx,yがいずれも正のときを論じれば、それで足りると思う もっと補足すれば、”任意の正の超越数xを底とする対数関数”は、実関数の範囲で、その定義域を、正の実数に取るってことが本質で （おっちゃんが>>117に書いてるように、複素関数まで広げると、一価関数でなくなるし） なので”正の超越数xを、対数（実）関数で、代数的数（当然正）を入れると、無理数になる”よと この４つの要素 これで、全て尽くされているでしょ？ で、対数関数に入れる数で、負の代数的数を考える意義は薄いでしょ？（＾＾ あと、気付いてないようだが おいらは「・・、矛盾である。（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）」 と、理由付けを書いたんだ これも、答案作成テクニックとして必要と思うよ これ、採点基準にあったりすると、理由付け抜かすと、減点されかねないからね（＾＾ （どの程度詳しく書くかは、求められているレベル（詳しく書くべきかどうか）と、残り時間との相談だね 　時間に余裕があるなら、詳しく書けば良いのだが） （>>125） (再引用開始) [命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。 　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である） [証明]：背理法を使う 　log_x (y) が有理数 とする。 　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数） 従って、x^{p/q}＝y これは、矛盾である。 （∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから） よって命題は成り立つ。 ＱＥＤ (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/135

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