現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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116: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/18(火) 03:20:23.69 ID:Rxviyods

(>>115の続き)
これは前スレの>658の大雑把な証明
>一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
>或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とすると、|y|≠0 かつ |y|≠1 から
>log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y| となって x^{2p/q}＝y^2。
>xは正の超越数であるから、x^{2p/q} は正の超越数である。しかし、yは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。
>従って矛盾が生じる。背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、示すべき結論は導かれる。
とは何も変わっていない。強いていえば、正の実数xを底とする対数関数の定義域が I＝ (-∞,0)∪(0,+∞) から
(0,+∞) になって、扱うxを底とする対数関数が log_x|y| y∈I から log_x(y) y＞0 になったことと、示す命題とが変わっただけ。
その大雑把な証明の行間を埋めて書くと以下のようになる。

[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とする。
仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。
また同様に、仮定からyは実数であって |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数だから、|y| は1とは異なる正の代数的数である。
従って、log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。
しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、示すべき結論は導かれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/116

125: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/12/18(火) 10:33:52.62 ID:9tXcwzeR

>>115-119
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとう

だが、いつもながら、議論の本筋を外しているね

入試では、答案は戻ってこない！！
採点者は、熱心に汚い手書き答案を読んでくれるが、”採点ミスを誘導せず高得点を狙う書き方”をすべき

log_x|y|（おっちゃん） vs  ”log_x (y) （ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）”（私）
の違い分かる？

そう、log_x (y) の「定義」を書いてあるってことだ（＾＾
つまり、自分の導入した記号や関数については、逐一「定義」を書く
いろんな数学の教科書や論文を見てみな。全部そうなっているよ
この数学の作法（定義を書く）が身についていない答案は、採点官の心証はマイナスだろうね
（特に数学科の院試ではね）

「log_x|y|（おっちゃん）」を、前スレ >>724のID:bB/JzT3mさんが、”xを底とする対数関数”だろうと救ってくれた
（落ちこぼれピエロは気づいてなかった（＾＾； ）
だが、入試なら、採点官のそばには、ID:bB/JzT3mさんはいないよ

あと、類似だが
>仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。

これ最初に、「背理法を使う」と宣言しないと、心証悪いよ
実際、前スレ>>697では
”仮定から x＞0 であり、|y|≠0 かつ |y|≠1 だから、log_x|y| は0ではない有理数である”と書いていたでしょ？（＾＾

（参考：前スレ>>732）
(引用開始)
[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
　　　　（注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
[証明]：背理法を使う
　log_x (y) が有理数 とする。
　log_x (y) ＝ p/q （ここに、p,q は整数）
従って、x^{p/q}＝y
これは、矛盾である。
（∵超越数の有理数ベキが、代数的数と等しくなったから）
よって命題は成り立つ。
ＱＥＤ
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/125

143: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/12/18(火) 17:22:19.57 ID:9tXcwzeR

>>136-141 （除く>>140）
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ありがとうよ（＾＾

（>>116より）
[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：
log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。
しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。
(引用終わり)

例えば
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
　ｙ＝|α|とおくと
log_x (y)  は無理数である。
ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である。”
とすれば、

上記証明の部分は、
「log_x (y) ＝p/q から x^{p/q}＝ｙ。故に矛盾が生じる」
で、終わるってこと＊）
（log_x|y|からスタートして、絶対値記号を外すために、両辺を二乗する部分が冗長だよね）

注＊）：
まあ、そんなに|y|に拘りがあるなら（実数で負の代数的数 αまで主張したいなら）ね
証明が、不必要にごたごたするのは趣味じゃないんだ

まあ、ここらは、どこまでがトリビアで、どこまで定理の主張を広げるべきかで、難しい問題もあるみたい
何かの記事で、ある人が投稿した論文を見て、別の人がその定理の系を論文投稿した
その定理の系が、応用として、いろいろ引用されることになった
最初の投稿者は、その系は分かっていたけど、トリビアだから書かなかったとかね
まあ、「分かっていたけど、書かなかった」というのは、後からは言いにくいよね

あと、
”[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |α|≠0 かつ |α|≠1 なる代数的数 α∈R に対して、
　ｙ＝|α|とおくと
log_x (y)  は無理数である。”
は、昔どこかで見たような気がする。（学生時代だったかも）

おっちゃんとは、センスが合わないのは良く分かったよ〜（＾＾
この話は、終わるよ〜（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1544924705/143

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