現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む56

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15(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/16(日) 11:10:52.77 ID:JTc4r8fR(14/55) AAS
>>13 つづき
話の始まりは、スレ46 2chｽﾚ:math
（現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む46）
定理の詳細の始まりは下記から。定理1.7と関連の系1.8の証明のPDF（今はリンク切れ）が、下記リンクからダウンロードできる
（引用開始）
スレ47 2chｽﾚ:math
＜スレ46の422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI
以下の pdf に証明を書いた。

https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz ＊）

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所ではその都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)

（注：＊）残念ながら、2018年10月時点では削除されているので、
過去スレアスキー文ご参照。例えば
スレ49 2chｽﾚ:math
なお、私の手元には、PDFが残っている）

つづく

103(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/17(月) 23:22:51.77 ID:vPN/J1lJ(9/14) AAS
>>102

つづき

歴史
随伴の遍在性
随伴関手の考えはダニエル・カンによって1958年に定式化された。多くの圏論の概念と同様に、ホモロジー代数において計算を行おうとした際に必要になったために導入された。この問題のきれいで系統的な表現を与えようと向き合った人々はアーベル群の圏において
hom(F(X), Y) = hom(X, G(Y))
のような関係があることに気づいていた。ここで、Fは関手 -＊ A(つまり、Aとテンソル積を取る)であり、Gは関手hom(A,?)である。
（注：-＊ Aの ”＊”は、ｘを○で囲んだテンソル積の代用である。無理をすると文字化けするので、 ”＊”で代用した。）
ここで等号を使うのは記号の乱用である。これらの群は実際には等しくないが、等しく見せるような自然な方法がある。自然に感じられる理由として、一番に、元々はこれらがX × AからYへの双線形写像の2つの異なった表現であるからである。しかし、これはテンソル積に関するいくぶん固有な話である。圏論においての全単射の自然性は自然同型の概念が元になっている。

この用語はヒルベルト空間において、上記のhom集合の間の関係と似た関係 \langle Tx,y\rangle =\langle x,Uy\rangle } \langle Tx,y\rangle =\langle x,Uy\rangle を満たす、随伴作用素TとUから来ている。FはGの左随伴といい、GはFの右随伴という。ただし、G自身もFとはかなり異なった右随伴を持ちうる(以下の例を見よ)。ある種の文脈においては、詳細なヒルベルト空間の随伴写像のアナロジーが可能である[1]。

これらの随伴関手の対を探し始めると、実は抽象代数では非常にありふれたことであり、他の分野でも同様であることが分かる。以下の例の節ではこの証拠を与える。さらに、普遍的構成はもっと普通にたくさんの随伴関手の対に持ち上げることができる。

つづく

105: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/17(月) 23:24:16.77 ID:vPN/J1lJ(11/14) AAS
>>104

つづき

代数
・グロタンディーク構成: 発端は、K-理論において位相空間上のベクトル束の圏が直和の下で可換モノイド構造を持つことである。各ベクトル束（の同値類）に加法逆元を形式的に追加することにより、このモノイドをグロタンディーク群と呼ばれるアーベル群にすることができる。同じことだが、各群を（逆元の存在を忘れることにより）その台となるモノイドへ写す函手は左随伴を持つ。
このようなグロタンディーク構成は、自然数からの負の整数の構成をなぞるようにすることもできるし、存在定理として使うこともある。有限項演算の代数構造の場合に対しては、そのような構成の存在性は普遍代数学やモデル理論に言及することもできるし、圏論的に適当な形での証明としても自然に述べられる。
・群の表現論におけるフロベニウス相互律によれば、表現の誘導は表現の制限の左随伴である。

位相
・層の順像と逆像。全ての連続写像f : X → YはX上の層(集合の層、アーベル群の層、環の層など)からYの対応する層への関手f *を誘導し、順像関手と呼ばれる。さらに、Y上のアーベル群の層からX上のアーベル群の層への関手 f ?1 も誘導され、逆像関手と呼ばれる。f ?1 は f * の左随伴である。ここで微妙な点は連接層での左随伴は(集合の)層のそれとは異なっていることである。
(引用終り)

209(1): １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/20(木) 17:34:34.77 ID:HvqMyvPV(7/9) AAS
zを |z|＜1 なる複素数、x正の実数として
log(1+z)＋log(x) という式を扱ってみな。
こういうときは log(1+z)＋log|x| と書いた方が見易く計算し易い筈だ。

314: １３２人目の素数さん [] 2018/12/23(日) 20:44:35.77 ID:UXKt0G2r(1) AAS
>>311
ウホッ

338(5): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/24(月) 09:45:54.77 ID:1uJ+FX2v(7/16) AAS
なお、
数学落ちこぼれが、選択公理を、水戸黄門の葵の紋章か、キリスト教の免罪符かわりにしようと、しているみたいなので
選択公理について、一言

バカかと
現代数学では、選択公理はデフォルトで、特別の宣言をしないかぎり、普通に採用される公理だよ
おれは、別に、「選択公理は使わない。ｘｘ公理を使う」などと宣言していないから、デフォルト状態ですよ
バカかと
選択公理と非可測集合の話は、ピエロが来る前、過去スレ21などで、さんざん議論はしたよ
まあ、そのときの議論から、「集合論から見た非可測集合渕野昌先生」のＰＤＦを貼っておくよ、選択公理勉強してね

https://www.weblio.jp/content/%E3%83%87%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%88
デフォルト三省堂大辞林 weblio
?コンピューター-システムで、ユーザーが特に指定しない場合に設定されている標準の動作条件。
?〔主にコンピューターに通じている人が用いる語〕転じて、基本的な状態（特段の理由がない場合の状態）のこと。デフォ。「私の朝食は−でパンだ」

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
選択の公理

スレ21 2chｽﾚ:math
http://fuchino.ddo.jp/papers/tohoku-ws06-talk.pdf
集合論から見た非可測集合渕野昌（中部大学，）2006 年11 月13 日東北大学大学院理学研究科数学専攻談話会での講演

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
目次
1 可測集合
2 構成と証明
3 関連項目
4 参考文献

595(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/29(土) 12:14:30.77 ID:nqXwmrkU(17/30) AAS
>>563
追加
「2017 年 8 月下旬から当時小学校 4 年生の高橋洋翔君との研究交流が始まった」「T は 10 歳の数学少年」だって（＾＾
あと
「飯高茂，数学の研究をはじめよう／高校生の定義した新しい完全数，その衝撃−前編，現代数学 2017 年 5 月号，現代数学社，pp.79-85」
にも、びっくり（＾＾

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/
松田　修　津山高専
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/AlgeGeo/algegeo_index.html
代数幾何学シンポジウムの記録
−高専代数幾何学研究会編−

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/AlgeGeo/algebraic_geometry_2017.pdf
代数学ミニシンポジウム2017 in 倉敷（報告集） new
(抜粋)
ハイパー完全数とスーパー完全数（飯高茂）・・・・・・・ 1
5 高橋君との研究交流 9
5.1 m:奇数の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 高橋君との研究交流
2017 年 8 月下旬から当時小学校 4 年生の高橋洋翔君との研究交流が始まった. ここで
は高橋君を T を筆者を I と書く. (T は 10 歳の数学少年 ,I は 75 歳の後期高齢者).
1. 2017 年 8 月 25 日. T は I に数学の研究になる課題を教えてほしいと要望.
2. 8 月 27 日. I は葉書を出して . φ(2φ(a) + 1) = a + 1 の解 a は何かを問う.
3. 2 日後 T は解は 2^e. ここで 2^e + 1 は素数と返書.
4. I は葉書を出して, 未解決の問題なので難問と添え書きして φ(2φ(a) ? 2) = ?3 の解を問う.
5. T は解は双子素数の兄の方であると証明をつけて ipad で返書.
6. ２日後 I は葉書を出して一般に m:負の奇数のとき φ(2φ(a) + 1 + m) = a + m, の解などを問う.
7. 9 月 2 日 T は多くの課題と結果を書きならべ, m = ?1 のとき φ(2φ(a)) = a ? 1の解は 2 とフェルマ素数と予想するが未証明と ipad で返書
8. それを受けて I は m = ?1:のとき解はないとしていた誤りに気づき, 正しい証明を作り mail で伝えた.
以下はこのような流れの中でできた結果についてふれる

つづく

615: １３２人目の素数さん [sage] 2018/12/29(土) 17:46:28.77 ID:9ok3z8n8(8/8) AAS
>>578
あと、上の方で IUT のことにスレ主は触れていたが、
長い IUT の論文を読むことは、マトモな洋書を1冊読むようなことに当たる。
正しいかどうかだけでなく、応用面も限られているようだしな。
見たところ、解析的なことには使えなさそうだ。
そのようなこともあり、IUT をするなら、他のことをした方がいい。
とはいっても、スレ主は驚いたことに中学レベルであったが。

それじゃ、おっちゃんもう寝る。

646(2): １３２人目の素数さん [] 2018/12/30(日) 07:45:04.77 ID:Fgu/mMxZ(1/17) AAS
>>645
>１）選択公理を使って、
>２）数列しっぽの同値類を作って、
>３）決定番号を決めている。

スレ主は既に順番を間違ってるね

正しくは以下の通り

１）数列しっぽの同値類を作って、
２）選択公理を使って
３）同値類の代表元を選んで（決定番号を決めて）いる

決定番号は同値類の代表元に付随して決まる
選択公理は、同値類の作成ではなく
その代表元の選定のために用いられてる

スレ主はこんな基本的なことも分かってない
いったい時枝記事を何を読んでるんだ？

701(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/12/31(月) 08:24:18.77 ID:PWZHndJJ(5/14) AAS
>>679
> ５）同値類の代表元の存在
> が必要

はい、良いですよ。些末な話だから(個人的には、決定番号の”定義”に含まれていると思うが)
”１）選択公理、２）数列しっぽの同値類、３）同値類の代表元の存在、４）決定番号、５）決定番号が自然数”
とします

なお、５）決定番号が自然数は自明だが、念のため追加しただけ

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