データ構造,アルゴリズム,デザインパターン総合ｽﾚ 4 (105ﾚｽ)
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35: 2021/10/04(月)18:40 ID:N2yAdGNd(1) AAS
計算量がO(V + E)であるの定義は何ですか？
36: 2021/10/04(月)22:35 ID:qkBPKVDO(1) AAS
それは計算量の定義をきいているのか？
37(1): 2021/10/05(火)00:11 ID:wQtjKuKa(1/2) AAS
そのアルゴリズムの計算時間を f(n) とし、オーダーが O(g(n)) と表記される場合、定数cがあって、n がある程度大きくなれば常に f(n) <= c * g(n) が成り立つ。言い方を変えれば計算時間は最悪のケースでも c * g(n) を超えない
g(n) が N (Nの1次式) なら計算時間は c * N を超えないし
g(n) が N^2 (2次式) なら c * N^2 を超えない
c はマシンのスペックや環境で変わるので具体的な数値は追求しない
Nの入力サイズが10倍、100倍、...、1万倍となったときに計算時間がおおよそどのくらいのスピードで増えるか見積もれれば良い
O(N) なら10倍、100倍、...、1万倍
O(N^2) なら100倍、1万倍、...、1億倍..
詳しくはアルゴリズムの教科書か
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgランダウの記号
38(1): 2021/10/05(火)02:13 ID:3IOuHtiP(1/2) AAS
>>37
ありがとうございます。
ですが、O(V + E)の中に書かれている式であるV + Eは2変数の関数です。それでも1変数の場合と同じ定義でいいんですか？
39(1): 2021/10/05(火)03:31 ID:wQtjKuKa(2/2) AAS
>>38
定義は同じ
V個の頂点はそれぞれ1回キューに入れられて1回キューから取り出される
E本の辺はある頂点から隣接する次の頂点を見つけるのに1度処理されるだけ
合わせてc0 * E + c1 * V の手間がかかるが、c0, c1 の大きい方を c として c0 * E + c1 * V <= c (E+V)、これは最悪でも計算量は c (E+V) を超えないことを意味し、E+V の部分が g(E+V) となる
40: 2021/10/05(火)08:50 ID:3IOuHtiP(2/2) AAS
>>39
なるほど。ありがとうございました。
41(1): 2021/10/10(日)18:05 ID:6QW0WSDe(1/3) AAS
以下のプログラミングコンテストの問題なのですが、『アルゴリズム実技検定』という本の解説では、これは動的計画法の問題であると書いてあります。
本当にこういうのも動的計画法と言いますか？
外部ﾘﾝｸ:atcoder.jp
42(1): 2021/10/10(日)19:42 ID:CKYp8hS8(1/2) AAS
>>41
ツリーを作って再帰にもできそうだけど、番号の1番大きい社員から少ない社員に向かって1つずつ処理していけば動的計画法になるね
最初に各社員に部下の給料のリスト（最初は空）を持たせて、社員番号Nから2番に向かって部下の給料のリストに値があればそこから自分の給与を計算して上司のリストに加えることを繰り返す
社員N番を含めて部下がいない、自分の番が回ってきても部下の給料リストが空なら1を上司のリストに加えればいい
43(1): 2021/10/10(日)20:02 ID:CKYp8hS8(2/2) AAS
部下の給与リストじゃなくて最大値と最小値だけ覚えとけばもっと賢いか
44: 2021/10/10(日)20:08 ID:6QW0WSDe(2/3) AAS
>>42-43
ありがとうございました。
『アルゴリズム実技検定』では、上司部下の関係を親子の関係と考えたツリーを考えて、再帰を使った深さ優先探索のような処理をしています。
そして、そのプログラムを動的計画法を使ったプログラムと書いています。
45(2): 2021/10/10(日)22:19 ID:shNjC7Q8(1) AAS
英語版Wikipedia（その出展として挙げられている『アルゴリズムイントロダクション』）の説明に従うと、この例は部分問題重複性が無いので、動的計画法ではなく分割統治アルゴリズムと呼ぶべきでしょうね
外部ﾘﾝｸ:en.m.wikipedia.org
競技プログラミング界隈だとこのような例も動的計画法と呼ぶ人はいますが、書籍でそれが一般的であるかのように書かれているのはあまりよくないように思えますね
46: 2021/10/10(日)22:22 ID:6QW0WSDe(3/3) AAS
>>45
ありがとうございました。
47(1): 2021/10/11(月)16:16 ID:bJ9NE0N3(1/2) AAS
閉路を含まない有向グラフのすべての有向パスのうち長さが最長の有向パスの長さを計算せよという問題について質問があります。
AtCoderの出題ページは以下になります。
外部ﾘﾝｸ:atcoder.jp
『アルゴリズム実技検定』という本の解説を読みますと「トポロジカルソート」という考え方を使うと書いてあります。
私は「トポロジカルソート」について何も知りませんが、制限時間内に答えを出すPythonプログラムを書けました。
本当に「トポロジカルソート」というのが必要でしょうか？
なお、上記ページにリンクが貼ってある解説のページ（hamayanhamayanというユーザーの解説のページ）にも「トポロジカルソートを知っていれば一瞬だが、知らないと解けない。」
と書いています。
『アルゴリズム実技検定』という本の模範解答を見ても、「トポロジカルソート」によって頂点に番号を割り振ったりはしていません。
つまり「トポロジカルソート」など不要ではないかと思うんです。
以下がジャッジにパスした私のPythonのコードです。
外部ﾘﾝｸ:ideone.com
48: 2021/10/11(月)16:25 ID:bJ9NE0N3(2/2) AAS
>>47
あともう一点。
この問題の出題カテゴリは動的計画法に属します。
『アルゴリズム実技検定』の模範解答も私のコードも、深さ優先探索 + 「メモ化再帰」で答えを計算しています。
>>45
確かにこの問題の場合部分問題重複性はあると思いますが、こういう単なる、いわゆる「メモ化再帰」も動的計画法と言っていいのでしょうか？
49(1): 2021/10/12(火)00:41 ID:mo6bbxTQ(1) AAS
まず、動的計画法の実現方法にはトップダウン方式とボトムアップ方式があり、メモ化再帰はトップダウン方式の実現方法に当たります
こちらは日本語版のWikipediaにも記載があります
外部ﾘﾝｸ:ja.m.wikipedia.org
トポロジカルソートの知識が必須になるのは、ボトムアップ方式で実現する場合です
メモ化再帰する場合にはトポロジカルソートを意識する必要はありません
ここで行われているメモ化再帰の実装は、深さ優先検索を用いたトポロジカルソートの実装と類似しており、結果的にトポロジカルソートの逆順で計算結果が確定されていくことになります
50: 2021/10/12(火)07:51 ID:9oya6EGe(1) AAS
>>49
ありがとうございました。
『アルゴリズム実技検定』でのコードは、トップダウン方式ですので、「トポロジカルソート」などという言葉を出さなくても良かったわけですね。
51: 2021/10/15(金)14:52 ID:n9WPu0Ca(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:atcoder.jp
↑の問題を↓のように解きました。
外部ﾘﾝｸ:ideone.com
コメントアウトしている行をアンコメントするとジェッジにパスしなくなります。
理由が分かりません。
理由が分かる方、教えて下さい。
52: 2021/10/15(金)15:11 ID:n9WPu0Ca(2/2) AAS
あ、わかりました。
53: 2021/10/15(金)15:13 ID:/Buyr3BY(1) AAS
よかったね、さようなら
54(1): 2021/10/24(日)20:12 ID:tzzO99P4(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:atcoder.jp
この問題は貪欲法が適用できるとのことですが、適用できることの証明はどう証明するのでしょうか？
55: 2021/10/24(日)22:55 ID:340Kt+5N(1) AAS
>>54
k日間で得られるポイントの合計の最大値を P(k) と表し、k日目に解禁されるタスクが2つあってそれぞれのポイントを p, q (p < q) とする。
貪欲法でないやり方で求めた最適解P(k)*があるとする。--- (1)
貪欲法でないある方針に基づいてpポイントのタスクを選択したとする。
このとき、貪欲法に基づいてqポイントのタスクを選択したとすると、P(k) = P(k)* + q - p となる更に良い解が得られ、(1) の「貪欲法でなくても最適解」の前提条件に矛盾する。
毎回思うけどこの atcoder てあんまり良くないね。
日本語の問題文があるから重宝されてるのかもしれないけど、入力のサイズが小さすぎてブルートフォースでも瞬時に解けたり、解説ないからもっと良い解があるのかわからないし、leetcode あたりのが勉強になると思う。
56: 2021/10/25(月)11:24 ID:vmRZrQEp(1) AAS
まるちんこ
57: 2021/10/25(月)12:10 ID:Ex1ycVpJ(1/2) AAS
以下のような感じで証明できないですかね？
タスク T のポイントを p(T) で表すことにする。
貪欲法によって選ばれたタスク列を
T_1, T_2, …, T_n
とする。
S := {(S_1, S_2, …, S_k) | 1 ≦ k ≦ n, S_i は第i日に行うタスク, p(S_1 + … + S_k) > p(T_1 + … + T_k)}
S が空集合ではないとして矛盾を導く。
(S_1, S_2, …, S_l) を長さが最小の S の元とする。
p(S_1) + … + p(S_{l-1}) ≦ p(T_1) + … + p(T_{l-1})
58: 2021/10/25(月)16:58 ID:Ex1ycVpJ(2/2) AAS
Introduction to Algorithms 3rd Editionがくどすぎて読みにくい。
59: 2021/10/26(火)11:19 ID:CwYCZWUI(1/2) AAS
タスク T のポイントを p(T) で表すことにする。
貪欲法によって選ばれたタスク列を
T_1, T_2, …, T_n
とする。
S := {k | 1 ≦ k ≦ n, 第1日目から第k日目の間に得られるポイントの合計の最大値 > p(T_1) + … + p(T_k)} が空集合ではないと仮定して矛盾を導く。
k_0 := min S とおく。
第1日目から第k_0日目の間に得られるポイントの合計の最大値を達成するタスク列を
S_1, S_2, …, S_{k_0} とする。
仮定により、
p(S_1) = p(T_1)
p(S_2) = p(T_2)
…
p(S_{k_0-1}) = p(T_{k_0-1})
p(S_{k_0}) > p(T_{k_0})
が成り立つ。
60: 2021/10/26(火)11:33 ID:CwYCZWUI(2/2) AAS
このとき、長さ n のタスク列 S_1, S_2, …, S_{k_0-1}, R_{k_0}, R_{k_0+1}, …, R_{n} で
p(R_{k_0}) = p(T_{k_0})
p(R_{k_0+1}) = p(T_{k_0+1})
…
p(R_{n}) = p(T_{n})
を満たすようなものが存在することは明らかである。
このタスク列 S_1, S_2, …, S_{k_0-1}, R_{k_0}, R_{k_0+1}, …, R_{n} も貪欲法によって選ばれうるタスク列である。
ところが、タスク列 S_1, S_2, …, S_{k_0-1}, R_{k_0}, R_{k_0+1}, …, R_{n} は第k_0日において、 p(S_{k_0}) > p(T_{k_0}) = p(R_{k_0}) であるにもかかわらず、
タスク S_{k_0} を選択しないタスク列であるから、このタスク列は貪欲法によって選ばれうるタスク列ではない。
これは矛盾である。
よって、 S は空集合である。
61(1): 2021/10/31(日)19:17 ID:BY7qrcrb(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:atcoder.jp
↓途中の段階で最終的に得られる互いの幸福度の総和をどうやって彼らは知るのでしょうか？
ただし、彼らはともに、「最終的に自分が得る幸福度の総和」から「最終的に相手が得る幸福度の総和」を引いた値を最大化するように料理を選びます。
このとき、「最終的に高橋くんが得る幸福度の総和」から「最終的に青木さんが得る幸福度の総和」を引いた値はいくつになるでしょうか？
62: 2021/11/02(火)10:37 ID:px0qcy1y(1) AAS
>>61
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
63: 2021/11/02(火)13:38 ID:RQoewYsN(1) AAS
『Introduction to Algorithms 3rd Edition』よりも『Algorithm Design』のほうがずっといい本だと思うのですが、どうですか？
64: 2021/11/03(水)18:42 ID:K+j19pQn(1/2) AAS
画像ﾘﾝｸ
↑は、Dijkstraのアルゴリズムの擬似コードですが、これって間違っていますよね？
Sに付け加えられるvに対してのみd[v]を計算しています。
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