純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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930(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)23:39 ID:jT6bEcWg(4/5) AAS
>>920-921 補足

補強しておくよ　；ｐ）
　>>563より
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の全体を特徴づける公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}*
0:=∅
S(x):=x∪{x}
具体的な自然数は
1:=S(0)={0}={∅}
2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる**[7]。
( 注*)ここに ∩ を使っているが、下記坪井明人筑波大は ∩は使わない
　**)この構成法のS(x):=x∪{x}で、S(x)はそれまでの自然数をすべて含み
　例えば4の濃度は4 などとなり、綺麗な自然数構成になる（by スレ主）)

対して
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp (>>563)
数理論理学II 坪井明人筑波大
P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S^2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元*)という意味を持たせている．
( 注*)しばしば後者あるいは後者関数と呼ばれる（by スレ主）)
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に
属している．そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . をすべて元
として含む集合である．しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . }
として定義したい．しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}*
とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにす
れば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り
方に依存しない）．
( 注*)ωは最初の無限順序数を表し、ノイマン構成では ω＝Nである
　坪井明人は、∩を使わない。この方が簡明に思える（by スレ主）)
(引用終り)

要するに坪井明人筑波大の方が、ja.wikipediaのペアノの公理自然数の集合論的構成の
記号 ∩ を使った人よりもちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ；ｐ）

932: 07/20(日)00:25 ID:2Jr4cGNB(1/29) AAS
>>930
何の補強にもなってなくて草

>要するに坪井明人筑波大の方が、ja.wikipediaのペアノの公理自然数の集合論的構成の
>記号 ∩ を使った人よりもちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ；ｐ）
どう賢いか具体的に

933: 07/20(日)00:26 ID:2Jr4cGNB(2/29) AAS
>>930
>坪井明人は、∩を使わない。この方が簡明に思える
それってあなたの感想ですよね？

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