純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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920(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)15:34 ID:jT6bEcWg(2/5) AAS
>>874 戻る
>Informally と intersection が同一文内にある。だから∩を使った構成は間違い。

えーと >>867 より再録
　>>852-853より
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
　intersection：共通部分英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
　ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
　W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
　– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
　だよね。ここに、”∩”は使われない
(引用終り)

つづく

922: 07/19(土)15:51 ID:clDQsZIy(8/12) AAS
>>920
集合族Mの共通部分∩Mの定義は論理式で記述されているのだから、∩を使うか否かはただの便宜であってそこには何の本質も無い。
そう教えてあげたのに君は言葉が分からないのかい？　言語障害？　なら病院行きな

923: 07/19(土)15:51 ID:clDQsZIy(9/12) AAS
>>920
Informallyと書かれている理由も教えてあげたのに言葉が分からないんだね　重症だね

925: 07/19(土)16:18 ID:clDQsZIy(11/12) AAS
>>920
>１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
>　intersection：共通部分英: intersection（下記）ね
Informally である理由は all inductive sets を上手く定義できないから。

>２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
>　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
その式は all inductive sets を使ってないから Informally ではない。
Informally と intersection が一文内にあったから連想ゲームしちゃったんだね。
数学では連想ゲームは通用しないよ。
実際、intersection がなぜ Informally なのか君は説明できないだろ？　な？　無意味だろ？　連想ゲームは。

そんなだから大学1年4月に落ちこぼれちゃったんだよ。分かったかい？

930(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)23:39 ID:jT6bEcWg(4/5) AAS
>>920-921 補足

補強しておくよ　；ｐ）
　>>563より
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の全体を特徴づける公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}*
0:=∅
S(x):=x∪{x}
具体的な自然数は
1:=S(0)={0}={∅}
2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる**[7]。
( 注*)ここに ∩ を使っているが、下記坪井明人筑波大は ∩は使わない
　**)この構成法のS(x):=x∪{x}で、S(x)はそれまでの自然数をすべて含み
　例えば4の濃度は4 などとなり、綺麗な自然数構成になる（by スレ主）)

対して
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp (>>563)
数理論理学II 坪井明人筑波大
P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S^2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元*)という意味を持たせている．
( 注*)しばしば後者あるいは後者関数と呼ばれる（by スレ主）)
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に
属している．そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . をすべて元
として含む集合である．しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . }
として定義したい．しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}*
とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにす
れば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り
方に依存しない）．
( 注*)ωは最初の無限順序数を表し、ノイマン構成では ω＝Nである
　坪井明人は、∩を使わない。この方が簡明に思える（by スレ主）)
(引用終り)

要するに坪井明人筑波大の方が、ja.wikipediaのペアノの公理自然数の集合論的構成の
記号 ∩ を使った人よりもちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ；ｐ）

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