純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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853(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/10(木)07:09 ID:J4CWtGen(2/3) AAS
つづき

Alternative method
An alternative method is the following. Let
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)

つまり、ペアノの公理とは、平たく言えば
スタートの0があって、その後者1があって
後者関数Ｓ：前者→前者+1
を無限に繰り返すと自然数の集合N＝ω が得られるというものだ

問題は、公理的集合論の立場は、ラッセルのパラドックス外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
を避けるために、集合と認めるのは厳格に抑制すべきってこと
だから、有限の後者関数を繰り返して、「はい、無限集合Nです」は認めない
だから、無限公理が必要です。無限公理は、後者関数の無限繰返しを含む集合N存在を認める
だから、無限公理からできたよくわからない Nを含む集合Aから Nのみを取り出す作業が必要
それを、上記のen.wikipediaや、fr.wikipedia、筑波大坪井明人、渕野昌「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」などでは
∩は、使わない。∩は無駄に話を複雑にしているよ
で、再度いうが ∩のIterated binary operation の意味が不明確
君がするべきことは、屁理屈のこね繰り回しではなく
この自然数Nの定義が、実際に無限公理を使って、2項演算∩の繰返しで
N＝{0,1,2,3,・・・} であることを証明することだよ
それが出来ないから、必死の屁理屈だろ？それ、丸わかりだよｗ；ｐ）>>847
以上

856: 07/10(木)07:15 ID:e06yId8e(6/18) AAS
>>853
>つまり、ペアノの公理とは、平たく言えば
>スタートの0があって、その後者1があって
>後者関数Ｓ：前者→前者+1
>を無限に繰り返すと自然数の集合N＝ω が得られるというものだ
はい大間違い
そうやって勝手読みするから間違える　おまえに数学は無理

859: 大学数学のガイド 07/10(木)08:00 ID:qrKwczIE(2/3) AAS
>>853
>ペアノの公理とは、平たく言えば
>スタートの0があって、
>後者関数Ｓ：前者→前者+1を無限に繰り返すと
>自然数の集合N＝ω が得られる
>というものだ

>問題は、
>集合と認めるのは厳格に抑制すべきってこと
>だから、有限の後者関数を繰り返して、
>「はい、無限集合Nです」は認めない
>だから、無限公理が必要です。
>無限公理は、後者関数の無限繰返しを含む集合Nの存在を認める

無限繰り返しなんて、無限公理にはどこにも出てこないけど？

{}=0は要素
xが要素なら、S(x)も要素

この２条件を満たす集合が存在すると言ってるだけ

>だから、無限公理からできた集合Aから Nのみを取り出す作業が必要

Ｎのみを取り出す、というのは
Ｎを無限公理を満たす最小の集合として
Ａ全体の中の上記２条件を満たす部分集合の共通集合
という形で取り出すということ

どこにも「無限に繰り返す」という言葉は出てこない
「無限に繰り返す」というのは高校生までに通用するナイーブワード
大学ではそういう無意味な言葉は通用しないから一切使わない

わかる？高卒君

>…では∩は、使わない。∩は無駄に話を複雑にしているよ

逆、∩は、極限まで話を単純化している

>で、再度いうが ∩のIterated binary operation の意味が不明確

Iterated がダメ
手続きの繰り返しに固執するから。高卒君は数学が理解できない
任意の{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の要素でもある元の全体が
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}という集合
ただそれだけのこと

>するべきことは
>（N=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}が）
> 実際に2項演算∩の繰返しで
>N＝{0,1,2,3,・・・} である
>と証明することだよ

それが誤り、繰り返しがダメ
ナイーブな高校数学で、
ソフィスティケイトされた大学数学は、
決して理解できないことの典型的な例

861: 07/10(木)09:05 ID:e06yId8e(9/18) AAS
>>853
>問題は、公理的集合論の立場は、ラッセルのパラドックス外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
>を避けるために、集合と認めるのは厳格に抑制すべきってこと
どうやって？

>だから、有限の後者関数を繰り返して、「はい、無限集合Nです」は認めない
>だから、無限公理が必要です。
ぜんぜん違うけど

相変わらず勝手読みばかり　おまえに数学は無理なので諦めろ

866: 07/10(木)09:42 ID:e06yId8e(14/18) AAS
>>853
>君がするべきことは、屁理屈のこね繰り回しではなく・・・N＝{0,1,2,3,・・・} であることを証明することだよ
君、>>850が読めないの？　なら小学校の国語からやり直せ　字が読めるようになるまで数学板には来るな　無駄だから

867(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/10(木)10:20 ID:CJHicHXJ(1) AAS
>>854-866
ふっふ、ほっほ
ぐだぐだ無駄な多弁を弄するね　；ｐ）

さて
　>>852-853より
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set

Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)

これで尽きている
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
　intersection：共通部分英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
　ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
　W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
　– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
　だよね。ここに、”∩”は使われない

詰んだな

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
共通部分（英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである

920(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/19(土)15:34 ID:jT6bEcWg(2/5) AAS
>>874 戻る
>Informally と intersection が同一文内にある。だから∩を使った構成は間違い。

えーと >>867 より再録
　>>852-853より
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
　intersection：共通部分英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
　ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
　W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
　– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
　だよね。ここに、”∩”は使われない
(引用終り)

つづく

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