純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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470(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/08(日)08:04 ID:cYYLjQao(1/7) AAS
>>469
ありがとう
君は、大分数学イップスが治癒してきたようだね（＾＾

そこから下記へ行ける
外部ﾘﾝｸ:direct.mit.edu
Sheaf Theory through ExamplesOpen Access
By Daniel Rosiak
The MIT Press
DOI: 外部ﾘﾝｸ[0001]:doi.org
ISBN electronic: 9780262370424
Publication date: 2022

ここに、Book PDF というリンクアイコンがあって（リンクは貼らないので自分で訪問すること）
そこから、PDF図書が落とせる

Grokさん偉いね
Grokさんと、一つ対局してみるかな？ｗ；ｐ）
＜目次＞
1 Categories 21
1.1 Categorical Preliminaries 21
1.2 A Few More Examples 35
1.3 Returning to the Deﬁnition and Distinctions of Size 36
1.4 Some New Categories from Old 40
1.5 Aside on “No Objects” 43

2 Prelude to Sheaves: Presheaves 45
2.1 Functors 46
2.2 Natural Transformations 61
2.3 Seeing Structures as Presheaves 65
2.4 The Presheaf Action 71
2.5 Philosophical Pass: The Four Action Perspectives 85

3 Universal Constructions 89
3.1 Limits and Colimits 89
3.2 Philosophical Pass: Universality and Mediation 104

4 Topology: A First Pass at Space 109
4.1 Motivation 109
4.2 A Dialogue Introducing the Key Notions of Topology 111
4.3 Topology and Topological Spaces More Formally 123
4.4 Philosophical Pass: Open Questions 144

5 First Look at Sheaves 147
5.1 Sheaves: The Topological Deﬁnition 147
5.2 Examples 151
5.3 Philosophical Pass: Sheaf as Local-Global Passage 168

6 There’s a Yoneda Lemma for That 171
6.1 First, Enrichment! 171
6.2 Downsets and Yoneda in the Miniature 175
6.3 Representability Simpliﬁed 179
6.4 More on Representability, Fixed Points, and a Paradox 183
以下略

471(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/08(日)09:48 ID:cYYLjQao(2/7) AAS
>>470 追加
Sheaf Theory through ExamplesOpen Access Daniel Rosiak

Introduction Open Access
外部ﾘﾝｸ[pdf]:direct.mit.edu

P11より
This system of mutually compatible local data assignments or “measurements” of the happenings
on the space—where the various data assignments are, piece by piece, constrained
by one another, and thereby patched together to supply an assignment over the entire space
covered by the individual regions—is, in essence, what constitutes our sheaf. The idea is
that the data assignments are being “tied together” in a natural way

where this last picture is meant to serve as motivation or clariﬁcation regarding the
agricultural terminology of “sheaf”:

Here one thinks of various regions as the parcels of an overall space covered by those
pieces, the collection of which then serves as a site where certain happenings are held to
take place, and the abstract sensors capturing local snapshots or measurements of all that
is going on in each parcel are then regarded as being collected together into “stalks” of
data, regarded as sitting over (or growing out of) the various parts of the ground space
to which they are attached. A selection of a particular snapshot made from each of the
individual stalks (collections of snapshots) amounts to a cross-section and the process of
restriction (along intersecting regions) and collation (along unions of regions) of these
sections captures how the various stalks of data are bound together.
(引用終り)

いまや、常識だろうが、(数学の)層は、もと仏語”faisceau”で、「麦類の穂束」の意味
「麦類の穂束」から、層の茎とか芽 (germ) とかへ繋がっている
逸話で、秋月先生がご存命のころ、学会である学生か院生が「層は誤訳」だと面と向かって言ったという都市伝説がある
秋月先生は、麦類の穂束→”束” を第一に考えられたと思うが、束は”lattice”で使われていた
数学用語は、”できれば漢字一文字”という明治以来の伝統があって
そこで先生は”層”をひねり出したという（下記）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学における層（英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）
注釈
1^ 英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する (sheaf - Wiktionary)。
出典
3^ 層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというのが一つの根拠である。Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。ところで、これを横に見ると地層のような層になる。そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。(秋月 1970, p. 176)

480: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/08(日)14:57 ID:cYYLjQao(4/7) AAS
>>475-477
ありがとう
ID:Zc7H01cb、ID:fNOOrq8Oは、御大か巡回ありがとうございます

>層はファイバー束の切断のことだと思うだろう
>層は任意の切断ではなく特定の条件を満たす切断だけを考える
>だから素人にとってただのファイバー束よりもちょっと難しいのである
>今言った告白が正しいとするとファイバー束でいいじゃんとしか思わん

秋月 1970, p. 176 「『輓近代数学の展望』ダイヤモンド社、1970年」>>470
では、”層”の直前には、ファイバー束やベクトル束の説明があって
そのあとに、層の説明が続いたと思った（いま、本は処分して手元にないのが残念だが）
うろ覚えだが、層はファイバー束の発展形のような印象が残っている

加藤文元さんの名言だが、数学の対象を広げすぎると、浅い結果しかいえない
深い結果が言えるよう適度に狭いところまで広げるべし

”層”のエライところは、例えば関数を開集合系をベースに捉えようという姿勢だと思う
つまり、学部１年の集合論で関数とは ”1点 vs 1点”の対応だという
その口が渇かぬうちに、”1点 vs 1点”じゃなく開集合系をベースに考えるべしという（教わる方は目をシロクロだが（＾＾）

実際、解析函数を考えるとき、”1点 vs 1点”で考えるのは、面白くないのだろう
岡先生やルレイ先生は、えらい

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ファイバー束（英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質（局所自明性）を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー（繊維）という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束（じめいそく）という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という

つづく

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