純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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847: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/09(水) 23:37:41.58 ID:iY1zm+dA

>>844
>>>1って共通部分∩すら理解できず言いがかりつけてくるあのアタオカのこと？

まだ言ってるよ この人ｗ ；ｐ）
えーと>>829
"https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory) の Arbitrary intersections
に一般の集合族の共通部分の定義 (x∈∩M)⇔(∀A∈M, x∈A) が明記されている。
一般のだから２族でも任意有限族でも無限族でも意味は明白。おまえが理解できないだけの話。馬鹿だから。馬鹿は数学板から去ろうな。"
なんだね

さて、そもそもに戻るよ
君は、下記の ペアノの公理 の式
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
を、必死で擁護しているけれども
この式は、君が書いたのではないよね？
どこの馬の骨かわからん人の式だろ？
で、『Aは無限公理により存在する集合』だという

君がするべきことは、屁理屈のこね繰り回しではなく
この自然数Nの定義が、実際に無限公理を使って、2項演算∩の繰返しで
N＝{0,1,2,3,・・・} であることを証明することだよ
それが出来ないから、必死の屁理屈だろ？ それ、丸わかりだよｗ ；ｐ）

(参考)>>727より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている
集合論における自然数の標準的な構成法としては、
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
0:=∅
S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理（英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A,∅∈A∧∀x∈A, x∪{x}∈A

(上記の英版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Formal statement
If the notations of both set-builder and empty set are allowed:
∃A(∅∈A∧∀x(x∈A→（x∪{x}）∈A)) （注：英原文では AのところにIを使っているが、和文に合わせた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/847

853: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/10(木) 07:09:33.10 ID:J4CWtGen

つづき

Alternative method
An alternative method is the following. Let
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)

つまり、ペアノの公理とは、平たく言えば
スタートの0があって、その後者1があって
後者関数 Ｓ：前者→前者+1
を無限に繰り返すと自然数の集合N＝ω が得られるというものだ

問題は、公理的集合論の立場は、ラッセルのパラドックス https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
を避けるために、集合と認めるのは厳格に抑制すべきってこと
だから、有限の後者関数を繰り返して、「はい、無限集合Nです」は認めない
だから、無限公理が必要です。無限公理は、後者関数の無限繰返しを含む集合N存在を認める
だから、無限公理からできた よくわからない Nを含む集合Aから Nのみを取り出す作業が必要
それを、上記のen.wikipediaや、fr.wikipedia、筑波大 坪井明人 、渕野昌 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」などでは
∩は、使わない。∩は 無駄に話を複雑にしているよ
で、再度いうが ∩のIterated binary operation の意味が不明確
君がするべきことは、屁理屈のこね繰り回しではなく
この自然数Nの定義が、実際に無限公理を使って、2項演算∩の繰返しで
N＝{0,1,2,3,・・・} であることを証明することだよ
それが出来ないから、必死の屁理屈だろ？ それ、丸わかりだよｗ ；ｐ）>>847
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/853

867: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/10(木) 10:20:18.09 ID:CJHicHXJ

>>854-866
ふっふ、ほっほ
ぐだぐだ 無駄な多弁を弄するね　；ｐ）

さて
　>>852-853より
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set

Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)

これで尽きている
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
　intersection：共通部分 英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
　ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を 書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
　W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
　– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
　だよね。ここに、”∩”は 使われない

詰んだな

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E9%80%9A%E9%83%A8%E5%88%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分（ 英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/867

920: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/19(土) 15:34:03.80 ID:jT6bEcWg

>>874 戻る
>Informally と intersection が同一文内にある。だから∩を使った構成は間違い。

えーと >>867 より再録
　>>852-853より
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.
Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set. This clearly satisfies the hypothesis of (*), since if x∈W, then
x is in every inductive set, and if
x is in every inductive set, it is in particular in I, so it must also be in W.
For uniqueness, first note that any set that satisfies (*) is itself inductive, since 0 is in all inductive sets, and if an element
x is in all inductive sets, then by the inductive property so is its successor. Thus if there were another set
W′ that satisfied (*) we would have that
W′⊆W since
W is inductive, and
W⊆W′since
W′is inductive. Thus W=W′.
Let ω denote this unique element.
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If
I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.■
(引用終り)
１）”Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets.”
　intersection：共通部分 英: intersection（下記）ね
２）で、これ ”Informally”とあるよね。つまり、
　”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>727 は、”Informally”なんだよ
　ここを勘違いした人が ja.wikipediaに >>847の”ペアノの公理”を 書いたんじゃないの？
３）さて、Formallyには ”Let I be an inductive set guaranteed by the Axiom of Infinity. Then we use the axiom schema of specification to define our set
　W={x∈I:∀J(Φ(J)→x∈J)}
　– i.e. W is the set of all elements of I, which also happen to be elements of every other inductive set.”
　だよね。ここに、”∩”は 使われない
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/920

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