純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/20(金) 22:24:13.97 ID:LS/4Ckc6

>>632 戻る
(引用開始)
>無限の存在が集合論の他の公理から独立である
無限の存在？　なにそれ？　無限集合の存在だろ？　バカなの
で、誰が従属と言ったの？　
(引用終り)

・独立 vs 従属？ ああ、線形代数と勘違いの条件反射かよ、おまえ。お里が知れるな、オチコボレさんよｗ
・”無限の存在”は、渕野先生の表現から借用したんだよ >>629の "P173 3 無限の存在証明"な
　公理的集合論以前でも、古代ギリシャの昔から、”無限”の概念は人類は知っていた（アリストテレスの著作がある）
　それ以外にも、ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など
　ところで、カントールとデデキントさんは、無限を無限集合で扱うことを考えたのです
　なので、渕野先生 >>629 "P173 3 無限の存在証明"は、これで意味は通じるｗ　；ｐ）
・さて、「無限の存在が集合論の他の公理から独立」を語るには
　極限順序数（下記）から始めるのが分かり易いだろう
　下記の通り、極限順序数で ノイマンの後者関数とフォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば
　自然数の集合ω＝Nであり、ωは”後続順序数でない”という性質を持つ
　だから、有限の順序数から後者関数を使うだけ では、ω＝Nには到達できないのだ
・だから、無限公理が必要で、但し”自然数の集合ω＝N”の存在を、まず公理と置いても良いのだが
　もっと賢いのは、ω(＝N)を含みそれより大きい集合を一気に認めてしまうことだね
　つまり カントールの順序数 ωのあとも, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω・・ とやることが分っているのだからね
　そしてωは、部分集合として ωより大きい集合から 取り出して構成すれば良いんだよ
（おっと "∩"は使わない方がいいぞ！ｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び・・
0, 1, 2, 3, ...., ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .., ω + ω・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/649

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