純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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597: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/16(月) 22:11:33.65 ID:8WY20Dqi

>>589-596
ID:rbeJ8doGは、御大か

囲碁将棋をやらない人は、プロのすごさが分らない
おサルさん、君は 御大には”セイモク フウリン”だぞ
まあ、レベルが低すぎると 相手のレベルの高さが分らないものだが ；ｐ）

そもそも>>563より
Inter-universal geometry とABC 予想57
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/988
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

補足すると
”>無限公理が存在を主張する集合全体”について
これ私の発言なのだが、ツッコミが・・
つまり、ZFCなどの無限公理により、無限公理の存在のみを認めるが
存在する無限集合が、はたして自然数の集合Nであることは保証しない
カントールやデデキントの素朴集合論では
自然数の集合Nが、最小の無限集合であって、かつ任意の無限集合はすべてNを含むことは既知
それを、公理的に構築するのがZFCなどの公理の目的
だから、結論を先取りすると
出来た無限集合全体の最小部分、全ての無限集合の共通部分が、自然数の集合Nだと言えるのです（cf.カントールの順序数理論）

ところで、上記にプロ数学者のするどいツッコミが・・
”無限公理が存在を主張する集合全体？”と入ったのです
確かに、そこはツッコミどころでは、あった （＾＾

そこで見つけたのが、>>563の 数理論理学II 筑波大 坪井先生PDF https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
だった

今回は 追加で下記をば（こいつは、いつものように jp.wikipedia 無限公理から辿れます）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
”Extracting the natural numbers from the infinite set”があり
google訳を抜粋する。式も略すが、∩は使われていない！（＾＾
（下記の”非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。より正式には、唯一の集合Wの存在を証明したいのです”を百回音読してね）
　記
”無限集合I は自然数の上位集合である。自然数自体が集合を構成することを示すために、指定の公理スキームを適用して不要な要素を削除し、すべての自然数からなる集合Nを残すことができる
自然数を抽出するには、どの集合が自然数であるかを定義する必要があります。自然数は、外延公理と帰納公理以外の公理を仮定せずに定義できます。つまり、自然数は0かその次の要素のいずれかであり、その各要素は0か、その次の要素のいずれかです。正式な言葉で言えば、定義は次のようになります
略
もっと正式にはこうです:
略
代替方法
代替の方法は次のとおりです
Φ（×）「xは帰納的である」という式である。つまり
略
非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。より正式には、唯一の集合Wの存在を証明したいのです。
略
つまり
Wは、Ｉは、他のすべての帰納的集合の元でもある。これは明らかに（*）の仮定を満たす
一意性については、まず、(*)を満たす任意の集合はそれ自体が帰納的であることに注意する
略
これらの方法は両方とも、 2階算術の公理を満たすシステムを生成します
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/597

605: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/17(火) 06:58:10.16 ID:142iXzRZ

>>598-604
負負不幸のおサルさん>>596
"-"を3回重ねると、やはり"-"(不)というダジャレか ；ｐ）

さて
1）20世紀初頭に、無限集合論を公理的に構築して、ラッセルのパラドックスなどから救おうというヒルベルトの構想があった
　cf　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ラッセルのパラドックス 矛盾の解消 公理的集合論による解消[注 1]
2）それ以前に、素朴集合論として、カントールやデデキントの無限集合の研究があった
　cf カントールの順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
　　及び デデキント無限 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
3）この素朴集合論を構築することを目的として ZFC公理系ができたのです
　結果、ZFC公理系からノイマン宇宙ができる https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
　ここに”整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。”
4）ノイマン宇宙の英語版には、ポンチ絵がある https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ともかく、自然数の集合N＝ω（最初の無限順序数） （これは可算無限でもある）
　であって、ノイマン宇宙の無限集合はすべて、N＝ωを含んでいる
　つまりは、全てのノイマン宇宙の無限集合の共通部分が、自然数の集合Nです
　ところが、これは結論を先取りしていて、自然数の集合Nをいまから構築しようとするときつかうと やばい
5）そこで、20世紀初頭の天才たちが、いろいろ考えた結果が
　>>597 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね
6）戻ると、∩を使うのは 賢明ではない。ツッコミどころ満載になるだろう
　御大の”無限公理が存在を主張する集合全体？”(>>596) も、これだね
　回答は、前記の通り

>>589で
(引用開始)
>”実質同じ”？ 証明は？
共通部分∩の定義を確認すればよいだけ。確認しろよ
(引用終り)
とか、発狂していたおサルさん
昨日は、ちょっと暑かったｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/605

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