純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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605: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/17(火) 06:58:10.16 ID:142iXzRZ

>>598-604
負負不幸のおサルさん>>596
"-"を3回重ねると、やはり"-"(不)というダジャレか ；ｐ）

さて
1）20世紀初頭に、無限集合論を公理的に構築して、ラッセルのパラドックスなどから救おうというヒルベルトの構想があった
　cf　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ラッセルのパラドックス 矛盾の解消 公理的集合論による解消[注 1]
2）それ以前に、素朴集合論として、カントールやデデキントの無限集合の研究があった
　cf カントールの順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
　　及び デデキント無限 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
3）この素朴集合論を構築することを目的として ZFC公理系ができたのです
　結果、ZFC公理系からノイマン宇宙ができる https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
　ここに”整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。”
4）ノイマン宇宙の英語版には、ポンチ絵がある https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ともかく、自然数の集合N＝ω（最初の無限順序数） （これは可算無限でもある）
　であって、ノイマン宇宙の無限集合はすべて、N＝ωを含んでいる
　つまりは、全てのノイマン宇宙の無限集合の共通部分が、自然数の集合Nです
　ところが、これは結論を先取りしていて、自然数の集合Nをいまから構築しようとするときつかうと やばい
5）そこで、20世紀初頭の天才たちが、いろいろ考えた結果が
　>>597 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね
6）戻ると、∩を使うのは 賢明ではない。ツッコミどころ満載になるだろう
　御大の”無限公理が存在を主張する集合全体？”(>>596) も、これだね
　回答は、前記の通り

>>589で
(引用開始)
>”実質同じ”？ 証明は？
共通部分∩の定義を確認すればよいだけ。確認しろよ
(引用終り)
とか、発狂していたおサルさん
昨日は、ちょっと暑かったｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/605

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