純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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571: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/15(日) 15:45:04.06 ID:lv2xCBEK

>>564
(引用開始)
>2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
>　任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
どう突っ込むと？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
　>>563のように
自然数の集合Nを
・”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”
ここに Aは無限公理により存在する集合を任意に（全て "∀"）選んだものである
とするのは
素朴ではあるが、問題がある
つまり、カントール集合論で、自然数Nは無限集合で最小の集合であるのだが
問題は、無限公理により存在する集合全て "∀"が、きちんと定義できているのか？
だ
簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然 積集合の大きさが異なる
つまり、無限公理の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと
最小無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる

なお、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9からの記載のぶりは
下記 en.wikipedia xiom of infinityの Extracting the natural numbers from the infinite setからの
”Alternative method”の記載類似と思われる
おそらく、種本が同じなのだろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Alternative method
An alternative method is the following. Let Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set
W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.

This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/571

578: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/15(日) 21:38:55.71 ID:lv2xCBEK

>>573
>>ここに Aは無限公理により存在する集合を任意に（全て "∀"）選んだものである
>まずここが間違い。
>任意に選んだものとは「いずれか一つ」であって「全て」ではない。

ふっふ、ほっほ 下記を百回音読してね
（余談ながら、"∀"は英語で all もあり anyでもある）
https://manabitimes.jp/math/1274
高校数学の美しい物語
全称記号（任意の〜）と存在記号（ある〜）について  2021/03/07
「任意の」とは「全ての」という意味です。
∀ という記号を使って表すことがあります。
この記事では，数学でよく使う「任意の」と「ある」という言葉，そしてそれらを表す記号
∀ ，∃ について解説します。
「任意の」の意味と記号
「任意の」とは「全ての」という意味です。例えば，
(引用終り)

>>問題は、無限公理により存在する集合全て "∀"が、きちんと定義できているのか？ だ
>つまり無限公理は公理に非ずと言いたいの？　だって無限公理がどんな集合の存在を謳ってるか不明なんでしょ？　「なんか分からん集合が存在する」は命題になり得ないよね？　よって公理になり得ないよね？

ふっふ、ほっほ 下記 無限公理を百回音読してね
即ち、無限公理が主張する集合は、有限集合でない＝真の無限集合 の”存在”を保証するのだが
その集合（下記ではA）の性質は一切規定されていない。一方で我々が欲しいのは、まず最小の無限集合たる 自然数Nだ
だが、”自然数”という用語を用いて 無限集合Nを規定すことは、公理的集合論としてはまずい
公理的集合論として、そこをひと工夫したのが、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
略
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合
A は以下の性質を満たすことを確認できる。
略
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/578

625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/18(水) 10:35:20.49 ID:1ZjEJMOG

>>621-624
ふっふ、ほっほ

(引用開始)
>>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ
オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。
添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ
(引用終り)

まあ、素人考えだな
（普通ではあるが、公理的集合論にはなじまない）

ツッコミどころは
１）”旅の途中”＊）
２）∩（集合積）は、俗にいう構造敏感だということ
（　＊）”旅の途中”という昔流行った歌がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%85%E3%81%AE%E9%80%94%E4%B8%ADなど）

さて、まず１）について、そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について
素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすれば よかんべだが

問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を 無制限に認めるのはまずってことだ
そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をして カントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった
いまは、”旅の途中”で 無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない

ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは 素朴単純に 公理として
”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による）
を公理として 決めればよかんべ と思う
ところが、次には 自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです
そこで、公理としては 自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる
この方が公理としてキレイなのだ

次に、２）について >>571から再録すると
”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然 積集合の大きさが異なる”
繰り返すが、100個の集合の積∩に 新たに一つ集合が増えると
∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高い というか そう考えるべきなのだ
記号∩を使う問題点は、そこにある

つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"が きちんと尽くされたという保証がないと
最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる
ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない
（”旅の途中”では 無限集合族などを無造作に使うべきではない）

対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
や、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 が やっていることは
無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として 再度 ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて 部分集合として構築するってことだね
しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと

君の 部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが
いまは、”旅の途中”ってことよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/625

727: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/28(土) 10:32:33.08 ID:Om34p0pv

>>726
>”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”

この式は、下記のペアノの公理 自然数の集合論的構成 の式だが
上記の通り、∩のIterated binary operation の意味が不明確（この説明を求められると詰まるだろう）

なので、∩を使わない 別の工夫がある（下記）
例えば en.wikipedia Axiom of infinity, Extracting the natural numbers from the infinite set, Alternative method
あるいは fr.wikipedia Axiome de l'infini
あるいは、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II
あるいは、>>677 渕野昌 P10（無限公理）https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている
集合論における自然数の標準的な構成法としては、
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
0:=∅
S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Alternative method

https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
Axiome de l'infini
L'ensemble des entiers naturels

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/727

852: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/10(木) 07:08:02.22 ID:J4CWtGen

>>848-851
ふっふ、ほっほ
もう詰んだのか？ｗ ；ｐ）

>>727より再録
>”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”
この式は、下記（ja.ipedia）のペアノの公理 自然数の集合論的構成 の式だが
上記の通り、∩のIterated binary operation の意味が不明確（この説明を求められると詰まるだろう）
なので、∩を使わない 別の工夫がある（下記）
例えば en.wikipedia Axiom of infinity, Extracting the natural numbers from the infinite set, Alternative method
あるいは fr.wikipedia Axiome de l'infini
あるいは、>>569 筑波大 坪井明人 PDF P9 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II
あるいは、>>677 渕野昌 P10（無限公理）https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部
以上
(引用終り)

繰り返すが、∩のIterated binary operation の意味が不明確

さらに、wikipedia Axiom of infinity 記述を引用する >>630-631 より
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.
To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way that does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction—a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says:
∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])).
Or, even more formally:
∀n(n∈N⟺([∀k(¬k∈n)∨∃k∀j(j∈n⟺(j∈k∨j=k))]∧
　∀m(m∈n⇒[∀k(¬k∈m)∨∃k(k∈n∧∀j(j∈m⟺(j∈k∨j=k)))]))).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/852

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